Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Свойства описанной окружности около четырехугольника углы
КвадратСвойства описанной окружности около четырехугольника углы

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникСвойства описанной окружности около четырехугольника углы

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммСвойства описанной окружности около четырехугольника углы

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидСвойства описанной окружности около четырехугольника углы

ТрапецияСвойства описанной окружности около четырехугольника углы

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС.

Доказать: около Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Точка О равноудалена от вершин Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыАDС, Свойства описанной окружности около четырехугольника углыD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС, откуда следует Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыАDС + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС = Свойства описанной окружности около четырехугольника углы(Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАDС + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАDС + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыАВС = 360 0 , тогда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углы360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВСDвнешний угол Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСFD, следовательно, Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВFD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВFD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD и Свойства описанной окружности около четырехугольника углыFDE = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF = Свойства описанной окружности около четырехугольника углы(Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF), следовательно, Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВСDСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВЕD, тогда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСDСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углы(Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВЕD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВЕD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD = 360 0 , тогда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСDСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углы360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСDСвойства описанной окружности около четырехугольника углы180 0 . Но это противоречит условию Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBАD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

По теореме о сумме углов треугольника в Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВСF: Свойства описанной окружности около четырехугольника углыС + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыF = 180 0 , откуда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыС = 180 0 — ( Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыF). (2)

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВ = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF. (3)

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыF и Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВFD смежные, поэтому Свойства описанной окружности около четырехугольника углыF + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВFD = 180 0 , откуда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыF = 180 0 — Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВFD = 180 0 — Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыС = 180 0 — (Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF + 180 0 — Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD) = 180 0 — Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF — 180 0 + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD = Свойства описанной окружности около четырехугольника углы(Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВАDСвойства описанной окружности около четырехугольника углыЕF), следовательно, Свойства описанной окружности около четырехугольника углыССвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углыА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Свойства описанной окружности около четырехугольника углыА = Свойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углыВЕD, тогда Свойства описанной окружности около четырехугольника углыА + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыССвойства описанной окружности около четырехугольника углыСвойства описанной окружности около четырехугольника углы(Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВЕD + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыВАD). Но это противоречит условию Свойства описанной окружности около четырехугольника углыА + Свойства описанной окружности около четырехугольника углыС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Свойства описанной окружности около четырехугольника углы

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

💡 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классыСкачать

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классы

5 Описанная окружность около четырехугольника. СвойствоСкачать

5 Описанная  окружность около четырехугольника. Свойство

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.
Поделиться или сохранить к себе: