Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- Свойства хорды в треугольнике
- Определение хорды
- Свойства хорды к окружности
- Свойства хорды и вписанного угла
- Свойства хорды и центрального угла
- Формулы нахождения хорды
- Решение задач
- Свойства хорды в окружности и вписанного треугольника
- Основные термины
- Касательная
- Свойства касательной
- Хорда
- Свойства хорд
- Свойства окружности
- Теорема о касательной и секущей
- Теорема о секущих
- Углы в окружности
- Свойства углов, связанных с окружностью
- Длины и площади
- Вписанные и описанные окружности
- Окружность и треугольник
- Окружность и четырехугольники
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- Треугольник вписанный в окружность
- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Свойства хорды в треугольнике
Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Видео:Свойства хорд окружностиСкачать Определение хорды Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой. Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности. Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать Свойства хорды к окружности
Видео:ОГЭ Задание 26 Свойства хордСкачать Свойства хорды и вписанного углаВидео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать Свойства хорды и центрального углаВидео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать Формулы нахождения хорды Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла. Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать Решение задачПримечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.
Решение. Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда 2х * 3х = 5 * 12 Откуда
Решение. 3,5х + 5,5х + 3х = 360 Откуда градусные величины центральных углов равны: 90 / 2 = 45 Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ; Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать Свойства хорды в окружности и вписанного треугольникаОкружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Основные терминыКасательнаяПрямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательнойКасательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. ХордаОтрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Свойства хордДиаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD. Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать Свойства окружностиТеорема о касательной и секущейЕсли из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB . Теорема о секущихЕсли из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD. Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать Углы в окружностиЦентральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром. Свойства углов, связанных с окружностьюВписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами. Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать Длины и площадиДлина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле: Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле: Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать Вписанные и описанные окружностиОкружность и треугольникцентр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле: где S — площадь треугольника, а — полупериметр; центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле: здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника; Окружность и четырехугольникиоколо выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°: в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон: Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности Круг | Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Радиус | Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Хорда | Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Диаметр | Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Касательная | Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Секущая | Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности Круг | Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Радиус | Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Хорда | Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Диаметр | Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Касательная | Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Секущая | Прямая, пересекающая окружность в двух точках Свойства хорд и дуг окружности
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Касательные, проведённые к окружности из одной точки | Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Касательные, проведённые к окружности из одной точки | Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | Секущие, проведённые из одной точки вне круга | Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущихТеорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1). Тогда справедливо равенство Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2). Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3). Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4). Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема о бабочкеТеорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны. Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения: Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим Воспользовавшись теоремой 1, получим Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство откуда вытекает равенство что и завершает доказательство теоремы о бабочке. Треугольник вписанный в окружностьОпределение
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности. O — центр вписанной в треугольник окружности. ФормулыРадиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной окружности в треугольник, Радиус вписанной окружности в треугольник, Радиус описанной окружности около треугольника
Радиус описанной окружности около треугольника, Радиус описанной окружности около треугольника, Площадь треугольника
Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, [ S = frac ab cdot sin angle C ] Периметр треугольника
Периметр треугольника вписанного в окружность, Периметр треугольника вписанного в окружность, Сторона треугольника
Сторона треугольника вписанного в Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, Высота треугольника
Высота треугольника вписанного в окружность, [ h = b cdot sin alpha ] Высота треугольника вписанного в окружность, Свойства
Доказательство
окружность и треугольник, окружность описана
окружность описана около треугольника,
|