Свойства хорды в треугольнике

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Свойства хорды в треугольникеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорды в треугольникеСвойства хорд и дуг окружности
Свойства хорды в треугольникеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства хорды в треугольникеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства хорды в треугольникеТеорема о бабочке

Свойства хорды в треугольнике

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Свойства хорды в треугольнике
  7. Определение хорды
  8. Свойства хорды к окружности
  9. Свойства хорды и вписанного угла
  10. Свойства хорды и центрального угла
  11. Формулы нахождения хорды
  12. Решение задач
  13. Свойства хорды в окружности и вписанного треугольника
  14. Основные термины
  15. Касательная
  16. Свойства касательной
  17. Хорда
  18. Свойства хорд
  19. Свойства окружности
  20. Теорема о касательной и секущей
  21. Теорема о секущих
  22. Углы в окружности
  23. Свойства углов, связанных с окружностью
  24. Длины и площади
  25. Вписанные и описанные окружности
  26. Окружность и треугольник
  27. Окружность и четырехугольники
  28. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  29. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  30. Свойства хорд и дуг окружности
  31. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  32. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  33. Теорема о бабочке
  34. Треугольник вписанный в окружность
  35. Определение
  36. Формулы
  37. Радиус вписанной окружности в треугольник
  38. Радиус описанной окружности около треугольника
  39. Площадь треугольника
  40. Периметр треугольника
  41. Сторона треугольника
  42. Средняя линия треугольника
  43. Высота треугольника
  44. Свойства
  45. Доказательство

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойства хорды в треугольнике
КругСвойства хорды в треугольнике
РадиусСвойства хорды в треугольнике
ХордаСвойства хорды в треугольнике
ДиаметрСвойства хорды в треугольнике
КасательнаяСвойства хорды в треугольнике
СекущаяСвойства хорды в треугольнике
Окружность
Свойства хорды в треугольнике

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойства хорды в треугольнике

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойства хорды в треугольнике

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойства хорды в треугольнике

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойства хорды в треугольнике

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойства хорды в треугольнике

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойства хорды в треугольнике

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства хорды в треугольникеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойства хорды в треугольникеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойства хорды в треугольникеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойства хорды в треугольникеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойства хорды в треугольникеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойства хорды в треугольнике

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойства хорды в треугольнике

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойства хорды в треугольнике

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойства хорды в треугольнике

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойства хорды в треугольнике

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойства хорды в треугольнике

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойства хорды в треугольнике

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства хорды в треугольнике

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойства хорды в треугольнике
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойства хорды в треугольнике
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойства хорды в треугольнике
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойства хорды в треугольнике

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства хорды в треугольнике

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Пересекающиеся хорды
Свойства хорды в треугольнике
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойства хорды в треугольнике
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойства хорды в треугольнике
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойства хорды в треугольнике
Пересекающиеся хорды
Свойства хорды в треугольнике

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства хорды в треугольнике

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Тогда справедливо равенство

Свойства хорды в треугольнике

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойства хорды в треугольнике

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства хорды в треугольнике

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойства хорды в треугольнике

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства хорды в треугольнике

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойства хорды в треугольнике

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойства хорды в треугольнике

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Свойства хорды в треугольнике

Свойства хорды в треугольнике

Учебный курсРешаем задачи по геометрии

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Определение хорды

Свойства хорды в треугольнике
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды в треугольнике

Видео:ОГЭ Задание 26 Свойства хордСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойства хорд

Свойства хорды и вписанного угла

Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Свойства хорды и центрального угла

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Формулы нахождения хорды

Свойства хорды в треугольнике
Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде
Свойства хорды в треугольнике

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.
Свойства хорды в треугольнике
Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Свойства хорды в треугольнике
Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Свойства хорды в окружности и вписанного треугольника

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Свойства окружности

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

    Теорема о касательной и секущей

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

    Теорема о секущих

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

    Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

    Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

    Углы в окружности

    Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Свойства углов, связанных с окружностью

    Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

    Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

    Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

    Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Длины и площади

    Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

    Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

    Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

    Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

    Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

    Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

    Вписанные и описанные окружности


    Окружность и треугольник

    центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

    где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

    центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

    здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

    Окружность и четырехугольники

    около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

  • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
  • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
  • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

    Теорема об отрезках хорд и секущих

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

    Свойства хорды в треугольникеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
    Свойства хорды в треугольникеСвойства хорд и дуг окружности
    Свойства хорды в треугольникеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойства хорды в треугольникеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойства хорды в треугольникеТеорема о бабочке

    Свойства хорды в треугольнике

    Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

    Секретная теорема из учебника геометрии

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью

    ФигураРисунокОпределение и свойства
    ОкружностьСвойства хорды в треугольнике

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

  • КругСвойства хорды в треугольнике
    РадиусСвойства хорды в треугольнике
    ХордаСвойства хорды в треугольнике
    ДиаметрСвойства хорды в треугольнике
    КасательнаяСвойства хорды в треугольнике
    СекущаяСвойства хорды в треугольнике
    Окружность
    Свойства хорды в треугольнике

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    КругСвойства хорды в треугольнике

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    РадиусСвойства хорды в треугольнике

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    ХордаСвойства хорды в треугольнике

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    ДиаметрСвойства хорды в треугольнике

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    КасательнаяСвойства хорды в треугольнике

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    СекущаяСвойства хорды в треугольнике

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    Свойства хорд и дуг окружности

    ФигураРисунокСвойство
    Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства хорды в треугольникеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
    Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
    Равные хордыСвойства хорды в треугольникеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
    Две хорды разной длиныСвойства хорды в треугольникеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
    Равные дугиСвойства хорды в треугольникеУ равных дуг равны и хорды.
    Параллельные хордыСвойства хорды в треугольникеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
    Диаметр, перпендикулярный к хорде
    Свойства хорды в треугольнике

    Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

    Диаметр, проходящий через середину хордыСвойства хорды в треугольнике

    Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хордыСвойства хорды в треугольнике

    Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

    Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойства хорды в треугольнике

    Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длиныСвойства хорды в треугольнике

    Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дугиСвойства хорды в треугольнике

    У равных дуг равны и хорды.

    Параллельные хордыСвойства хорды в треугольнике

    Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

    ФигураРисунокТеорема
    Пересекающиеся хордыСвойства хорды в треугольнике

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства хорды в треугольнике

    Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойства хорды в треугольнике

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства хорды в треугольнике

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Пересекающиеся хорды
    Свойства хорды в треугольнике
    Касательные, проведённые к окружности из одной точки
    Свойства хорды в треугольнике
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
    Свойства хорды в треугольнике
    Секущие, проведённые из одной точки вне круга
    Свойства хорды в треугольнике
    Пересекающиеся хорды
    Свойства хорды в треугольнике

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства хорды в треугольнике

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

    Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Тогда справедливо равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

    Свойства хорды в треугольнике

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема о бабочке

    Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Воспользовавшись теоремой 1, получим

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Свойства хорды в треугольнике

    Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

    Свойства хорды в треугольнике

    откуда вытекает равенство

    что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

    Треугольник вписанный в окружность

    Свойства хорды в треугольнике

    Определение

    Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
    находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

    На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
    треугольника
    и окружность, вписанная в треугольник.

    ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

    O — центр вписанной в треугольник окружности.

    Свойства хорды в треугольнике

    Формулы

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    r — радиус вписанной окружности.

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
      если известна площадь и все стороны:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    Радиус описанной окружности около треугольника

    R — радиус описанной окружности.

    1. Радиус описанной окружности около треугольника,
      если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр:

    Площадь треугольника

    S — площадь треугольника.

    1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
      если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = frac ab cdot sin angle C ]

    Периметр треугольника

    P — периметр треугольника.

    1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
      если известны все стороны:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    Сторона треугольника

    a — сторона треугольника.

    1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
      если известны две стороны и косинус угла между ними:

    Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    Средняя линия треугольника

    l — средняя линия треугольника.

    1. Средняя линия треугольника вписанного
      в окружность, если известно основание:

    Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:

    Высота треугольника

    h — высота треугольника.

    1. Высота треугольника вписанного в окружность,
      если известна площадь и основание:

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    Свойства

    • Центр вписанной в треугольник окружности
      находится на пересечении биссектрис.
    • В треугольник, вписанный в окружность,
      можно вписать окружность, причем только одну.
    • Для треугольника, вписанного в окружность,
      справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
      и Теорема Пифагора.
    • Центр описанной около треугольника окружности
      находится на пересечении серединных перпендикуляров.
    • Все вершины треугольника, вписанного
      в окружность, лежат на окружности.
    • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
    • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
      треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
      формуле Герона.

    Доказательство

    Около любого треугольника, можно
    описать окружность притом только одну.

    Свойства хорды в треугольнике

    окружность и треугольник,
    которые изображены на рисунке 2.

    окружность описана
    около треугольника.

    1. Проведем серединные
      перпендикуляры — HO, FO, EO.
    2. O — точка пересечения серединных
      перпендикуляров равноудалена от
      всех вершин треугольника.
    3. Центр окружности — точка пересечения
      серединных перпендикуляров — около
      треугольника описана окружность — O,
      от центра окружности к вершинам можно
      провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

    окружность описана около треугольника,
    что и требовалось доказать.

    Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
    вписанный в окружность
    — это треугольник,
    в котором все серединные перпендикуляры
    пересекаются в одной точке, и эта точка
    равноудалена от всех вершин треугольника.

    Поделиться или сохранить к себе: