Найти среднюю высоту треугольника

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

ОстроугольныеТупоугольныеПрямоугольные
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС.Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой.Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 90 0 (прямой угол). На рисунке угол С равен 90 0 . Такой угол в любом прямоугольном треугольнике – единственный.
Найти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольника

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

РазностороннийРавнобедренныйРавносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.
Найти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

Найти среднюю высоту треугольника

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.

Найти среднюю высоту треугольника

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.

Найти среднюю высоту треугольника

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Найти среднюю высоту треугольника

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

Найти среднюю высоту треугольника

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Найти среднюю высоту треугольника

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Найти среднюю высоту треугольника

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Как найти высоту треугольникаСкачать

Как найти высоту треугольника

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Найти среднюю высоту треугольника

1. Через площадь и длину стороны

Найти среднюю высоту треугольника

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Найти среднюю высоту треугольника

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Найти среднюю высоту треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Найти среднюю высоту треугольника

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Найти среднюю высоту треугольника

Найти среднюю высоту треугольника

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Найти среднюю высоту треугольника

Найти среднюю высоту треугольника

Высота в прямоугольном треугольнике

Найти среднюю высоту треугольника

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Найти среднюю высоту треугольника

2. Через стороны треугольника

Найти среднюю высоту треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Найти среднюю высоту треугольника

Найти среднюю высоту треугольника

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Найти среднюю высоту треугольника

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Найти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольникаНайти среднюю высоту треугольника

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Найти среднюю высоту треугольника

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Найти среднюю высоту треугольника

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Найти среднюю высоту треугольника.
Найти среднюю высоту треугольника.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Найти среднюю высоту треугольника

Ответ: Найти среднюю высоту треугольника

Видео:№499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15Скачать

№499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Найти среднюю высоту треугольника(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Найти среднюю высоту треугольника(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Найти среднюю высоту треугольника.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Найти среднюю высоту треугольника

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Найти среднюю высоту треугольника

Ответ: Найти среднюю высоту треугольника

Видео:№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.Скачать

№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Найти среднюю высоту треугольника

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Найти среднюю высоту треугольника(5)
Найти среднюю высоту треугольника(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Найти среднюю высоту треугольника(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Найти среднюю высоту треугольника
Найти среднюю высоту треугольника(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac. )

Видео:Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭСкачать

Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭ

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найти среднюю высоту треугольника

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac, )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

📽️ Видео

7 класс. Геометрия. Найти высоту треугольника.Скачать

7 класс. Геометрия. Найти высоту треугольника.

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В треугольнике известны две стороны и одна высота. Найти вторую высоту.Скачать

В треугольнике известны две стороны и одна высота.  Найти вторую высоту.

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41

как найти высоту крыши и длину стропило по углу наклонаСкачать

как найти высоту крыши и длину стропило по углу наклона

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?
Поделиться или сохранить к себе: