Сумма углов остроугольного треугольника

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Сумма углов остроугольного треугольника

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен , а два других равны .

3. На рисунке угол равен , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Сумма углов остроугольного треугольника

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сумма углов остроугольного треугольника

Сначала найдем угол .

Угол , смежный с углом равен .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

4. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны , и . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол равен углу (они накрест лежащие). Угол равен углу (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Содержание
  1. Геометрия. 7 класс
  2. Треугольник
  3. Типы треугольников
  4. По величине углов
  5. Остроугольный треугольник
  6. Тупоугольный треугольник
  7. Прямоугольный треугольник
  8. По числу равных сторон
  9. Разносторонний треугольник
  10. Равнобедренный треугольник
  11. Равносторонний (правильный) треугольник
  12. Вершины, углы и стороны треугольника
  13. Свойства углов и сторон треугольника
  14. Сумма углов треугольника равна 180°
  15. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
  16. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
  17. Теорема синусов
  18. Теорема косинусов
  19. Теорема о проекциях
  20. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  21. Формулы сторон через медианы
  22. Медианы треугольника
  23. Свойства медиан треугольника
  24. Формулы медиан треугольника
  25. Формулы медиан треугольника через стороны
  26. Биссектрисы треугольника
  27. Свойства биссектрис треугольника
  28. Формулы биссектрис треугольника
  29. Формулы биссектрис треугольника через стороны
  30. Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
  31. Высоты треугольника
  32. Свойства высот треугольника
  33. Формулы высот треугольника
  34. Формулы высот треугольника через сторону и угол
  35. Формулы высот треугольника через сторону и площадь
  36. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  37. Окружность вписанная в треугольник
  38. Свойства окружности вписанной в треугольник
  39. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  40. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
  41. Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
  42. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  43. Окружность описанная вокруг треугольника
  44. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  45. Свойства углов
  46. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  47. Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
  48. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  49. Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
  50. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  51. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  52. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  53. Средняя линия треугольника
  54. Свойства средней линии треугольника
  55. Признаки
  56. Периметр треугольника
  57. Формулы площади треугольника
  58. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  59. Формула площади треугольника по трем сторонам
  60. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  61. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  62. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  63. Равенство треугольников
  64. Определение
  65. Свойства
  66. Признаки равенства треугольников
  67. По двум сторонам и углу между ними
  68. По стороне и двум прилежащим углам
  69. По трем сторонам
  70. Подобие треугольников
  71. Определение
  72. Признаки подобия треугольников
  73. Свойства
  74. Прямоугольные треугольники
  75. Свойства прямоугольного треугольника
  76. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  77. Свойства
  78. 💡 Видео

Видео:Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Сумма углов треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Формулирование и доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
  • Следствия теоремы о сумме углов треугольника.
  • Классификация треугольников по видам углов.
  • Формулирование и доказательство теоремы о свойствах прямоугольного треугольника.
  • Решение задач с применением пройденного материала;
  • Угловой отражатель.

Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.

Сформулируем эту теорему.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сумма углов остроугольного треугольника

Проведем через вершину В прямую аАС.

∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Что и требовалось доказать.

Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Сумма углов остроугольного треугольника

Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).

∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.

По углам треугольник может быть:

‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);

‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);

‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

Сумма углов остроугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.

Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Сумма углов остроугольного треугольника

Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

Сумма углов остроугольного треугольника

∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°

∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°

Что и требовалось доказать.

Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.

Сумма углов остроугольного треугольника

Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.

Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.

∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.

Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.

Сумма углов остроугольного треугольника

Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.

Сумма углов остроугольного треугольника

Разбор заданий тренировочного модуля

1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?

Сумма углов остроугольного треугольника

По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.

2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.

Сумма углов остроугольного треугольника

По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→

∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Типы треугольников

Сумма углов остроугольного треугольника

По величине углов

Остроугольный треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

Сумма углов остроугольного треугольника

— все три стороны равны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Вершины, углы и стороны треугольника

Сумма углов остроугольного треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β , тогда a > b
  • если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Видео:Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Сумма углов остроугольного треугольника

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник
  • Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

    m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

    m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

    Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

    7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

    Биссектрисы треугольника

    Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Свойства биссектрис треугольника

    1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AE AB = EC BC

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между l c и l c ‘ = 90°

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
  • Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны

    l a = 2 b c p p — a b + c

    l b = 2 a c p p — b a + c

    l c = 2 a b p p — c a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

    l a = 2 b c cos α 2 b + c

    l b = 2 a c cos β 2 a + c

    l c = 2 a b cos γ 2 a + b

    Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

    7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

    Высоты треугольника

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

    В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

    • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
    • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
    • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

    Свойства высот треугольника

    1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  • h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

    1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

    Формулы высот треугольника

    Формулы высот треугольника через сторону и угол

    h a = b sin γ = c sin β

    h b = c sin α = a sin γ

    h c = a sin β = b sin α

    Формулы высот треугольника через сторону и площадь

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Окружность вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

    Свойства углов

    Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

    Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

    №256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

    d 2 = R 2 — 2 R r

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Видео:Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.Скачать

    Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    • Любой треугольник имеет три средних линии.
    • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
      MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

    MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN

    Признаки

    Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

    Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

    Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

    Периметр треугольника

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

    Видео:Геометрия Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольникаСкачать

    Геометрия Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника

    Формулы площади треугольника

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    S = 1 2 a · h a ,
    S = 1 2 b · h b ,
    S = 1 2 c · h c ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,
    S = 1 2 b · c · sin α ,
    S = 1 2 a · c · sin β ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b ,
    α — угол между сторонами b и c ,
    β — угол между сторонами a и c .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Видео:Сумма острых углов прямоугольного треугольникаСкачать

    Сумма острых углов прямоугольного треугольника

    Равенство треугольников

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Определение

    Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

    Свойства

    У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

    Признаки равенства треугольников

    По двум сторонам и углу между ними

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По стороне и двум прилежащим углам

    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По трем сторонам

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

    Подобие треугольников

    Сумма углов остроугольного треугольника

    Определение

    Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

    ∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

    где k — коэффициент подобия.

    Признаки подобия треугольников

    1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    S ∆АВС S ∆MNK = k 2

    Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

    ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Свойства прямоугольного треугольника

    • Сумма углов остроугольного треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
      Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1 + ∠ 2 = 90° .
    • Сумма углов остроугольного треугольника

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

    Докажем, что BC=2AC.
    Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
    Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

    Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

    1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
    3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    💡 Видео

    Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Сумма углов треугольникаСкачать

    Сумма углов треугольника

    Решение задач (сумма острых углов прямоугольного треугольника)Скачать

    Решение задач (сумма острых углов прямоугольного треугольника)

    Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

    Почему сумма углов треугольника 180 градусов?
  • Поделиться или сохранить к себе: