Соответственные углы при параллельных прямых доказательство (6 видео)

Соответственные углы — определение, основные свойства и признаки

Содержание

Базисные понятия
Углы, образующиеся при пересечении прямых
Соответственные углы при параллельных прямых
Доказательство подобия треугольников
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Соответственные углы при параллельных прямых доказательство
🎬 Видео

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Видео:Теорема 14.3 Если соответственные углы равны, то прямые параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Соответственные углы при параллельных прямых доказательство

§ 15. Свойства параллельных прямых

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP .

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный.

Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?