Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Содержание
  1. Сложное (составное) движение точки
  2. Относительная скорость и ускорение
  3. Переносная скорость и ускорение
  4. Абсолютная скорость и ускорение
  5. Теорема о сложении скоростей
  6. Доказательство
  7. Теорема Кориолиса о сложении ускорений
  8. Доказательство
  9. Сложное движение точки в теоретической механике
  10. Сложение скоростей
  11. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
  12. Ускорение Кориолиса
  13. Пример №1
  14. Пример №2
  15. Составное (сложное) движение. Относительное и переносное движения
  16. Абсолютное движение
  17. Относительное движение
  18. Переносное движение
  19. Составное движение
  20. Несколько сложнее третий пример (движение Земли)
  21. Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений
  22. Относительные скорость и ускорение
  23. Переносные скорость и ускорение
  24. Параллелограмм скоростей
  25. Пример №3
  26. Пример №4
  27. Пример №5
  28. Параллелограмм ускорений
  29. Пример №6
  30. Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса)
  31. Величина ускорения Кориолиса
  32. При каком движении бывает ускорение Кориолиса
  33. Физическая причина ускорения Кориолиса
  34. Направление ускорения Кориолиса
  35. Пример №7
  36. Пример №8
  37. Задача №1
  38. Задача №2
  39. Сложное движение точки и тела
  40. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой
  41. Задача №3
  42. Задача №4
  43. Задача №5
  44. Задача №6
  45. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу
  46. Задача №7
  47. Задача №8
  48. Задача №9
  49. Задача №10
  50. Задача №11
  51. Сложное движение точки в плоскости
  52. Задача №12
  53. Сложное движение точки в пространстве
  54. Задача №13
  55. Движение точки по звену механизма
  56. Задача №14
  57. Механизм с муфтой
  58. Задача №15
  59. iSopromat.ru
  60. 🎥 Видео

Видео:Сложное движение точки #1Скачать

Сложное движение точки #1

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении – это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Пусть Oxyz – неподвижная система координат, On xo yo zo – подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей xo , yo , zo подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор точки M в неподвижной системе определяется по формуле:
(1) ,
где – радиус-вектор точки On – начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты xo , yo , zo точки относительно тела. А векторы являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2) ;
(3) .

Относительная скорость точки при сложном движении – это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы , определяющие положение тела. Относительные координаты точки xo , yo , zo являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая xo , yo , zo постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4) ;
(5) .

Переносная скорость точки при сложном движении – это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от – это скорость и ускорение начала подвижной системы координат On : ; .

Найдем формулы для производных по времени от векторов . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела”). Рассмотрим вектор , проведенный из точки A в точку B . Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6) , , .

Подставляем в (4):

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки xo , yo , zo .

Абсолютная скорость точки при сложном движении – это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Видео:Cложное движение точки. ТермехСкачать

Cложное движение точки. Термех

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (2) и (4).
(1) ;
(7)
.

Видео:Термех. Кинематика. Сложное движение точкиСкачать

Термех. Кинематика. Сложное движение точки

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5).
(7) .

.

В последнем члене применим (6) и (2).

.
Тогда
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-10-2015

Видео:Сложное движение точкиСкачать

Сложное движение точки

Сложное движение точки в теоретической механике

Содержание:

Абсолютная и относительная производные от вектора:

При рассмотрении сложного движения точки в общем случае переносного движения приходится рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсчета, движущимся друг относительно друга. Одно изменение имеет векторная величина относительно подвижной системы отсчета, движущейся относительно другой, неподвижной, и другое — относительно неподвижной системы отсчета. Неподвижной системой отсчета считается система, движение которой относительно других систем отсчета не рассматривается.

Введем обозначения производных от векторных величин при рассмотрении их изменения относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Для любого вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Установим зависимость между полной и относительной производными по времени вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии величинами, характеризующими движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Для этого разложим вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина составляющие, параллельные осям подвижной системы координат. Имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 87

Изменение вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиотносительно неподвижной системы координат Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. в зависимости от времени состоит из изменения его проекций Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина подвижные оси координат и изменения единичных векторов Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиподвижных осей вследствие движения подвижной системы координат относительно неподвижной. Вычислим полную производную по времени от вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, используя формулу (1). Получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Первые три слагаемых учитывают изменение вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри неизменных Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии поэтому составляют относительную производную, т. е.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Производные по времени единичных векторов определим по формулам Пуассона

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

так как эти векторы не изменяются от поступательного движения со скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивместе с подвижной системой отсчета (рис. 87). Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиесть угловая скорость вращательной части движения вокруг точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиподвижной системы координат относительно неподвижной. Подставляя эти значения производных единичных векторов в (2) и вынося Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиза скобки, получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Получена формула зависимости производных векторов Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Формула (4) называется формулой Бура.

Известно, что произвольное движение системы координат как свободного твердого тела можно представить как поступательное движение вместе с полюсом, например с точкой Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, и вращение вокруг этой точки. Из формулы Бура следует, что поступательная часть движения вместе с полюсом не влияет на зависимость между производными, а влияет только вращательная часть движения.

Рассмотрим частные случаи.

1. Если вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностине изменяется относительно подвижной системы координат, то его относительная производная Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии по формуле (4) получаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Это формула для производной от вектора постоянного модуля, доказанная ранее для радиуса-вектора при вращении вокруг неподвижной оси. Она справедлива для любого вектора при произвольном движении подвижной системы осей координат. В рассматриваемом случае Сложное движение точки теоретическая механика по окружностине только угловая скорость вращения подвижной системы координат, но и угловая скорость вращения вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, так как вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиможно при этом считать скрепленным с подвижной системой координат.

2. Если вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностине изменяется относительно основной системы координат, то полная производная Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии, согласно (4), его относительная производная

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Если Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, т. е. вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивсе время параллелен вектору угловой скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, то Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

В частности, если Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, то

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Полная и локальная производные также равны друг другу в те моменты времени, в которые вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипараллелен вектору угловой скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Сложение скоростей

Если Сложное движение точки теоретическая механика по окружности—неподвижная система осей координат, а Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— подвижная (рис. 88), то, как известно, абсолютным движением точки называют ее движение относительно неподвижной системы осей координат, а относительным — ее движение относительно подвижной. Переносным движением точки называют ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой осей относительно неподвижных. Относительные скорость и ускорение обозначают Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, переносные — Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, а абсолютные — Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Другие характеристики этих движений снабжаются соответствующими значками.

Движение подвижной системы осей координат относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, например вместе с точкой Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии вектором угловой скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиее вращения вокруг Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Пусть точка Сложное движение точки теоретическая механика по окружностидвижется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведем векторы Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, характеризующие положение точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиотносительно неподвижной и подвижной систем осей координат, и вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружноститочки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Для любого момента времени

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 88

Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изменения векторов относительно неподвижных осей координат, т. е. вычислим полные производные. Получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

По определению, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиявляется абсолютной скоростью точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— абсолютной скоростью точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Для вычисления Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиприменим формулу Бура. Имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Относительная производная Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиявляется относительной скоростью точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо отношению к подвижной системе отсчета, а Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— угловая скорость вращения подвижной системы отсчета и, следовательно, радиуса-вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, если бы он в рассматриваемый момент времени был скреплен с подвижной системой осей координат. Таким образом, из (5) получаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная скорость точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Из (6) получаем следующую теорему сложения скоростей для точки:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

т. е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (6). Имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Для полных производных от векторов Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиприменим формулу Бура. Получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

получим для абсолютного ускорения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— ускорение точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого (8) примет вид

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиназывается ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (9) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений — переносного, относительного и Кориолиса.

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух формах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— координаты движущейся_ точки относительно подвижной системы осей координат; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где касательное переносное ускорение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

причем Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиесть кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Абсолютное ускорение в этом случае

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Кориолиса

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (10)

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т. е. угловую скорость переносного движения, заменили на Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений: переносного и относительного. Часть его Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения. Это следует из анализа формул при выводе абсолютного ускорения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (10) определяется выражением

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Для определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Н. Е. Жуковского. Оно основано на формуле (10). Пусть имеем точку Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, движущуюся с относительной скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 89). Построим плоскость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, перпендикулярную угловой скорости переносного вращения и спроецируем Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина эту плоскость. Проекцию обозначим Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Она является вектором; ее модуль

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Кориолиса выразится в форме

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 89

Учитывая (10) и (12′), получаем правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиповернуть на Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса. Из (12) следует, что Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, если:

  1. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, т. е. переносное движение является поступательным;
  2. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, т. е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;
  3. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, т. е. когда скорость относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипараллельна угловой скорости переносного вращения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Следует отметить, что при различном разложении одного и того же абсолютного движения точки на переносное и относительное получим разные ускорения Кориолиса.

Пример №1

Шар радиусом Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивращается вокруг вертикальной оси Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. По меридиану шара движется точка Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 90,а). Расстояние Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиотсчитывается от точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностимеридиана.

Определить абсолютные скорость и ускорение точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив момент времени Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Решение. За переносное движение точки примем вращение ее вместе с шаром вокруг оси Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 90, б). Тогда относительным движением точки будет ее движение по меридиану шара.

Определим положение точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина меридиане в момент времени Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Имеем Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Так как Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, то положение точки определяется углом широты Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Вычислим угловые скорость и ускорение переносного движения. Получаем Сложное движение точки теоретическая механика по окружности; при Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Знак минус у Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипоказывает, что вращение шара происходит в отрицательную сторону угла Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, т. е. по часовой стрелке.

Так как Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии при Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, то угловое ускорение переносного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Знак минус у Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиуказывает, что оно направлено по часовой стрелке, против положительного направления угла ф. Так как знаки у Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиодинаковы, то вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 90

Абсолютную скорость точки определяем по формуле

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Скорость переносного движения при Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Скорость относительного движения точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. При Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСложное движение точки теоретическая механика по окружности. Следовательно, Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Знак плюс у Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиуказывает, что Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено в сторону возрастания Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

В рассматриваемом случае Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена по касательной к параллели шара и перпендикулярна Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, которая направлена по касательной к меридиану. Следовательно,

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Так как переносное движение является вращением шара вокруг неподвижной оси, то абсолютное ускорение точки определяем по формуле

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Переносное нормальное ускорение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено по кратчайшему расстоянию от точки до оси, т. е. по Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Переносное касательное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиперпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии направлено в соответствии с направлением углового ускорения по скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Числовое значение этого ускорения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Относительное нормальное ускорение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено к центру кривизны траектории относительною движения, т. е. к центру шара Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Относительное касательное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Следовательно, Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Так как Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиположительно, то Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено в сторону возрастающих значений Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо касательной к траектории относительного движения. Относительное движение оказалось ускоренным в рассматриваемый момент времени.

Ускорение Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Его модуль Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности—проекция Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

После этого находимСложное движение точки теоретическая механика по окружности. Чтобы определить направление Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, следует Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиповернуть вокруг оси Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, параллельной Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, на Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив сторону переносного вращения, т. е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Получаем, что ускорение направлено по ускорению Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Для определения абсолютного ускорения выбираем прямоугольные оси координат Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии проецируем обе части векторного равенства (а) на эти оси, учитывая направление составляющих ускорений (рис. 90, б). Получаем:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Числовое значение абсолютного значения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Пример №2

Колечко Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 91), надетое на стержень, движется в плоскости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностисогласно уравнениям

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности—в см; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— в с. Стержень может вращаться вокруг оси Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис.91

Определить в момент Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиугловую скорость и угловое ускорение стержня, а также скорость и ускорение движения колечка по стержню.

Решение. Положение колечка в момент времени Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяется координатами

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Примем движение колечка вместе с вращающимся стержнем за переносное. Тогда его движение по стержню будет относительным движением.

Вычислим проекции на оси координат абсолютных скорости и ускорения колечка для произвольного момента времени. Имеем:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Для момента времени Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучаем:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

По проекциям изображаем векторы абсолютных скорости и ускорения в рассматриваемый момент времени (рис. 92). По теореме сложения скоростей для колечка,

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Скорость переносного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиперпендикулярна стержню Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, а скорость относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена по стержню. Разлагая абсолютную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо этим двум направлениям, получаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Угловая скорость вращения стержня определяется по формуле

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

В соответствии с направлением Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиизображаем на рисунке дуговую стрелку для угловой скорости.

В частном случае переносного вращательного движения по теореме сложения ускорений для абсолютного ускорения имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 92

Вычисляем отдельные составляющие абсолютного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии изображаем их на рис. 93. Для модуля нормального переносного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено к оси переносного вращения, т. е. к точке Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Составляющая переносного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена перпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиа» и по величине неизвестна. Предполагая, что дуговая стрелка для Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена против часовой стрелки, изображаем на рисунке ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Нормальная составляющая относительного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, так как относительное движение колечка по стержню является прямолинейным. Касательная составляющая относительного ускорения в этом случае равна полному относительному ускорению, т. е. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Предположим, что Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено от точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностик Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Ускорение Кориолиса Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяем по правилу Жуковского. Для его модуля имеем Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— проекция относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. В рассматриваемом случае Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, поэтому Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Направление ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучаем поворотом на Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо направлению дуговой стрелки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивокруг оси, проходящей через точку Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипараллельно оси вращения стержня Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Выбираем оси координат Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии проецируем векторы, входящие в уравнение (а) на эти оси. Имеем:

  • для Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
  • для Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Из этих уравнений определяем неизвестные ускорения:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучилось отрицательным. Следовательно, предположение о направлении его оказалось неверным. В действительности Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено против ранее принятого направления. Ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиоказалось положительным. Предположение о направлении дуговой стрелки для Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиподтвердилось. Угловое ускорение стержня определяем по формуле

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Рис. 93

Видео:Сложное движение точки. Решение задачи. Авторы: Ермишин Степан, Ходунов Алексей, Хужаев ДмитрийСкачать

Сложное движение точки. Решение задачи. Авторы: Ермишин Степан, Ходунов Алексей, Хужаев Дмитрий

Составное (сложное) движение. Относительное и переносное движения

Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчета.

Абсолютное движение

Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений тел (или частей тела). Такое изменение можно отметить только относительно других тел. Так, река течет вдоль берегов, биллиардный шар катится по биллиардному столу, пароход пересекает экватор. Реальные или условные тела (берега, биллиардный стол, экватор), по отношению к которым мы определяем положения других движущихся тел (воды, шара, парохода) и которые мы принимаем за системы отсчета, тоже не неподвижны. Так, системы отсчета, только что приведенные нами в виде примера, находятся на поверхности нашей планеты и вместе с ней вращаются вокруг земной оси, движутся вокруг Солнца и совершают множество других движений. Но и предметы, не связанные непосредственно с Землей, тоже не неподвижны—Солнце движется относительно звезд, которые движутся относительно друг друга.

Однако для целей механики далеко не всегда нужно иметь неподвижную систему отсчета. Так, например, если мы передвигаем какой-либо груз с носа корабля на корму, то нас может интересовать движение груза по палубе независимо от движения корабля. В подобных случаях в кинематике можно условно принять за неподвижную любую систему отсчета и назвать ее основной системой отсчета. Движение же точки (или системы точек) по отношению к основной системе отсчета называют абсолютным движением.

Относительным движением называют движение точки или системы точек по отношению к подвижной системе отсчета

Относительное движение

Встречаются случаи, когда приходится изучать движение (точки или тела) по отношению к системе отсчета, которая сама передвигается относительно другой системы, принятой за основную. При рассмотрении движения точки или тела по отношению к двум системам отсчета ту из этих систем, которая движется относительно основной системы отсчета, называют подвижной системой отсчета.

Так, например, перемещение корабля в море, измеренное при помощи лага, не учитывает снос корабля морским течением. Лагом измеряют движение корабля относительно воды. Можно представить себе подвижную систему координат, плывущую вместе с водой по течению, т. е. передвигающуюся относительно другой системы отсчета, принятой за основную. Движения корабля можно рассматривать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к подвижной системе (связанной с водой) и к основной (связанной с материками, принимаемыми за неподвижные). Движение корабля по отношению к подвижной системе координат, измеряемое лагом, будем называть относительным движением корабля. Вообще относительным движением будем называть движение (точки, тела или системы точек) по отношению к подвижной системе отсчета. Относительное движение изучают обычно в тех случаях, когда приходится учитывать не только движение данного объекта по отношению к подвижной системе отсчета, но и движение самой системы отсчета.

Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета

Переносное движение

Так, в данном примере, чтобы знать движение корабля относительно берегов, надо кроме движения корабля относительно воды знать также и движение самой воды, т. е. движение подвижной системы отсчета относительно основной. Движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета называют переносным движением.

Во многих задачах кинематики переносным бывает движение среды, в которой находится тот объект, движение которого нужно изучить. В только что рассмотренном примере течение воды действительно переносит корабль. Еще один пример: человек идет по поезду. Движение поезда является переносным движением для человека, а движение человека относительно вагонов является относительным. Поезд переносит (в буквальном смысле слова) человека. Но иногда переносное движение не является движением среды, которая увлекает с собой данный объект. Например, рассматривая движение Земли вокруг ее оси и вокруг Солнца, мы можем первое из этих движений считать относительным, а второе — переносным, хотя нет такой среды, которая вращалась бы вокруг Солнца, увлекая с собой и Землю.

Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переносного движений

Составное движение

В первых двух примерах движение объекта (корабля, человека) состоит из двух движений, которые мы назвали относительным и переносным. В третьем примере Земля совершает движение, которое мы искусственно разложили на относительное и переносное. Часто, чтобы упростить изучение какого-либо сложного движения, это движение искусственно раскладывают на более простые, называя одно из них относительный!, другое—переносным. Независимо от того, состоит ли движение в действительности из относительного и переносного или же мы искусственно, для упрощения расчетов, считаем его состоящим из двух движений, мы будем называть сложным или составным движением абсолютное движение точки или системы точек, состоящее (или составляемое) из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета и переносного движения вместе с подвижной системой отсчета.

Если в cocтавном движении мы мысленно прекратим одно из составляющих движений, то получим второе составляющее движение. При решении некоторых задач бывает удобно пользоваться таким приемом:

  1. чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное;
  2. чтобы определить переносное движение, мысленно остановим относительное.

Возвращаясь к первому из только что разобранных примеров, мысленно остановим морское течение; корабль будет двигаться относительно воды, но не будет относиться течением; останется только одно движение — относительное. Остановим теперь собственный ходкорабля, но предоставим воде продолжать свое течение, и корабль поплывет по течению; останется только одно движение корабля —переносное.

Также легко выделить относительное и переносное движения во втором примере. Остановим мысленно поезд, но предоставим человеку идги по вагону, и получим относительное движение человека; остановим мысленно человека в его движении по поезду, но не будем останавливать поезд, и найдем переносное движение человека.

Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простых

Несколько сложнее третий пример (движение Земли)

Здесь нет движения среды, переносящей Землю, подобно морскому течению, переносящему корабль. Мы лишь мысленно приняли движение Земли за составное, искусственно разложили его на переносное и относительное, чтобы упростить его, чтобы более наглядно себе его представить и легче понять. Мы можем вообразить подвижную систему координат, связанную с Землей и движущуюся относительно основной системы, связанной с Солнцем и звездами, и считать, что движение Земли состоит из переносного и относительного. Поскольку движение земного шара (движение по отношению к основной системе) мы искусственно рас: сматриваем как составное, постольку от нас самих зависит, как разложить это движение на переносное и относительное. Мы можем считать, что подвижная система отсчета движется поступательно или вращательно. В зависимости от этого, конечно, изменится и относительное движение. Земля совершает Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиоборота в год относительно поступательно движущихся осей (рис. 114, а) и на один оборот меньше относительно осей, вращающихся вокруг Солнца (рис. 114, б) и совершающих один оборот в год.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 114

Такой искусственный метод разложения движения на относительное и переносное широко применяют в различных областях механики. Л. Пуансо в предисловии ко второму изданию своей книги «Элементы статики» (1824) писал даже о невозможности представить наглядно движение тел иначе, как в виде одновременного перемещения и вращения.

Очень часто движение раскладывают не на два, а на большее число составляющих движений. Напомним, что мы уже так поступали, изучая движение точки как составное из трех прямолинейных движений, параллельных осям координат.

Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений

Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчета

Относительные скорость и ускорение

Пусть некоторая точка M (рис. 115) движется относительно системы координат.x’Ey’z’. Если бы эту систему координат мы считали неподвижной, то движение, скорость и ускорение точки по отношению к этим координатам мы называли бы абсолютными. Но пусть система координатных осей x’Ey’z’ по условиям задачи движется относительно основной системы отсчета xОyz. В таком случае скорость и ускорение точки M относительно системы координат x’Ey’z’ называют относительными.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 115

  • относительной скоростью точки называют скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета1;
  • относительным ускорением точки называют ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Мы будем обозначать относительную скорость буквой υ с индексом r (от латинского слова relativus—относительный). Относительное ускорение будем обозначать буквой а с тем же индексом r.

Для обозначения проекций относительных скорости и ускорения будем ставить рядом с индексом r второй индекс. Так, υrx есть проекция относительной скорости на ось Ox; arN—относительное нормальное ускорение.

Переносными скоростью и ускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка

Переносные скорость и ускорение

Чтобы определить переносное движение точки М, прекратим мысленно ее относительное движение, закрепив ее относительно координатных осей х’Еу’z’ в том положении, которое она занимает в данное мгновение. Таким образом, мы будем считать, что точка M неизменно скреплена с осями х’Еу’z’ , но оси продолжают двигаться относительно основной системы координат xOyz вместе с точкой М. Тогда скорость и ускорение точки M относительно основных осей координат явятся скоростью и ускорением точки M в ее переносном движении.

  • переносной скоростью точки M называют абсолютную скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М;
  • переносным ускорением точки M называют абсолютное ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М.

Мы будем обозначать переносную скорость точки буквой υ с индексом е (от французского слова entrainer—увлекать за собой), а переносное ускорение—буквой а с тем же индексом. Для обозначения проекций переносных скорости и ускорения на какую-либо ось будем ставить рядом с индексом е индекс, соответствующий оси.

Вектор абсолютной скорости равен сумме векторов относительной и переносной скоростей:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Параллелограмм скоростей

Ознакомившись с понятиями относительной и переносной скоростей точки, найдем зависимость между этими скоростями и абсолютной скоростью, т. е. скоростью точки по отношению к основной системе отсчета.

Пусть подвижная система координат x’Ey’z’ (рис. 116) движется поступательно. В таком случае оси Ex’, Ey’ и Ez’ будут оставаться параллельными своему начальному направлению. Для простоты выкладок пусть эти оси направлены параллельно осям основной системы координат. Тогда во все время движения будем иметь:
Ex’ ||Ox; Ey’||Oy; Ez’||Oz.

Рассмотрим сначала относительное движение точки M и для этого остановим мысленно движение подвижной системы отсчета.

Напишем уравнения движения точки M относительно подвижной системы отсчета:
x’ = x'(t). y’=y'(t), z’ = z'(t). (102)

Продифференцировав по времени и обозначая, как обычно, точкой производные по времени, найдем проекции относительной скорости на подвижные оси координат:

Так как оси подвижной системы координат параллельны соответствующим осям основной системы, то проекции относительной скорости на оси Ex’, Ey’ и Ez’ соответственно равны проекциям на параллельные им оси Ox, Oy и Oz основной системы отсчета:

Зная проекции относительной скорости, легко найдем по формулам (64) и (62) величину и направление полной относительной скорости.

Чтобы определить переносное движение, мысленно остановим движение точки относительно подвижной системы координат, но предоставим самой подвижной системе x’Ey’z’ продолжать движение.

Напишем по (77) уравнения переносного поступательного движения:

Продифференцировав равенства (77), получим проекции переносной скорости точки М, которые при поступательном движении системы равны проекциям скорости точки Е:

Величину и направление вектора полной переносной скорости точки M легко найти по формулам (64) и (62).

Для определения абсолютной скорости точки M найдем сначала ее координаты х, у и г. Применив формулу преобразования начала координатных осей при сохранении направления осей, получим

Точка M находится в составном движении, следовательно, х, у и г изменяются с течением времени, причем первые члены правых частей этих равенств изменяются согласно (102), а вторые—согласно (77). Продифференцировав по времени, получим проекции абсолютной скорости точки М:

Эти равенства показывают, что проекция абсолютной скорости на какую-либо ось равна сумме проекций относительной и переносной скоростей на ту же ось. Следовательно, вектор абсолютной скорости точки равен сумме векторов относительной скорости и переносной скорости той же точки:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(103 )

Поэтому доказанную теорему называют теоремой параллелограмма скоростей.

Равенства (103) и (103′) выражают связь между тремя скоростями (абсолютной, относительной и переносной) одной и той же точки и позволяют определить любую из этих скоростей, если известны две другие,Они доказаны в предположении, что переносное движение поступательное, но справедливы при всяком переносном движении, как это будет показано в § 31.

Из равенств (103) непосредственно получаем:

  1. проекция относительной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и переносной скоростей той же точки на ту же ось;
  2. проекция переносной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и относительной скоростей той же точки на ту же ось.

Из векторного равенства (103) получаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти относительную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее переносной скорости. Аналогично, чтобы найти переносную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее относительной скорости.

Пример №3

Вертикально падают дождевые капли со скоростью 2 м/сек. Пешеход идет справа налево со скоростью 1,5 м/сек. Найти скорость дождя по отношению к пешеходу (рис. 117, а).

Решение. В данной задаче за основную систему отсчета примем Землю. Подвижная система отсчета связана с пешеходом. Вертикальная скорость дождя является абсолютной скоростью (υ = 2 м/сек); переносной скоростью υe является скорость подвижной системы отсчета, т. е. скорость человека, направленная влево и равная 1,5 м/сек. Чтобы найти вектор относительной скорости, сложим вектор абсолютной скорости (рис. 117,6) с вектором, который по величине равен переносной скорости, а по направлению противоположен ей, т. е. направлен слева направо:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор относительной скорости составляет с вертикалью угол а, тангенс которого равен
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Пример №4

Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 30 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемую наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля. При вычислении принять Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.
Решение. Задача аналогична предыдущей, но решать ее будем не в векторной, а в координатной форме, для чего перепишем (103) в следующем виде:

Построим основную систему координат, связанную с Землей, направив ось Ox на юг, а ось Оу— на восток, (рис. 118). Подвижную систему отсчета свяжем с первым кораблем, так как относительно первого корабля надо определить скорость второго. Проекции абсолютной скорости второго корабля на оси основной системы таковы:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Переносным движением мы называем движение подвижной системы отсчета по отношению к основной. Поэтому в данной задаче переносной скоростью является скорость первого корабля. Ее проекции следующие:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Подставляя эти значения в написанные выше уравнения, найдем проекции относительной скорости:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

По проекциям находим модуль:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

и направляющие косинусы относительной скорости:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Следовательно, относительная скорость второго корабля составляет углы по 45 о C положительным направлением оси Oy и с отрицательным направлением оси Ох, т. е. направлена на северо-восток.
Ответ, υr = 30 км/ч н направлена на северо-восток.

Пример №5

Ширина АВ реки (рис. 119,а) равна 900 м, и берега ее параллельны. Моторная лодка, выйдя из пункта В, держала курс перпендикулярно берегам и достигла противоположного берега через 5 мин, но не в пункте А, находящемся против В, а в пункте С, лежащем на 300 м ниже по течению. Во втором рейсе та же моторная лодка, выйдя из того же пункта В, взяла курс под углом О к BA (начальное направление на пункт D, лежащий на 300 м выше пункта А по течению) и сохраняла свое направление (угол δ), но подошла к правому берегу в пункте Е, лежащем ниже А.

Считая скорость лодки относительно воды постоянной и пренебрегая изменением течения воды у берегов, определить расстояние AE, скорость течения, скорость лодки относительно воды и скорости υ1 и υ2 лодки относительно беретов в обоих рейсах.

Решение. Возьмем начало основной системы координат в точке В, направив ось абсцисс перпендикулярно к берегу по BA, а ось ординат — вниз по течению реки (для решения задачи пользуемся формулами 103). Скорость лодки относительно этой системы является абсолютной. Подвижная система координат движется поступательно вместе с водой и скорость течения реки является переносной скоростью лодки.
Тогда, имея в виду, что АC = 300 м = DA, для первого рейса (рис. 119,6)

и для второго рейса (рис. 119, в)

В первом рейсе лодка держала курс перпендикулярно берегам и в относительном движении проплыла 900 я за 5 мин = 300 сек. Следовательно, υr=3 м/сек.

За то же время ее снесло течением на 300 м, а потому υe=l м/сек.
Подставляя эти значения в уравнения, составленные для первого рейса, и деля второе из этих уравнений на первое, найдем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиоткуда Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Из тех же уравнений найдем скорость лодки относительно берегов (т. е. абсолютную скорость) в первом рейсе:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Величина относительной скорости лодки, определенная по ‘данным первого рейса, не изменится и во втором, так как по условию задачи скорость лодки относительно воды постоянна. Также не изменится и переносная скорость лодки — скорость течения реки. Подставляя найденные значения в уравнения, составленные для второго рейса, получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Из этих уравнении найдем: υ2 = 2,85 м/сек и sin δ’ = 0,018.

Умножая АB = 900 м на tg δ’, найдем AE.

Если переносное движение поступательное, то вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ее относительного и переносного ускорений
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Параллелограмм ускорений

В отличие от теоремы параллелограмма скоростей, применимой при всяком переносном движении, аналогичная теорема параллелограмма ускорений справедлива только в том случае, если переносное движение поступательное.

Пусть точка совершает составное движение, причем подвижная система отсчета x’Ey’z’ движется поступательно по отношению к основной системе хОуz. Пусть соответствующие оси обеих координатных систем параллельны друг другу, это упростит доказательство.

Проекции относительной скорости точки нами уже определены. Продифференцировав эти равенства по времени, найдем проекции относительного ускорения точки:

Величину и направление полного относительного ускорения можно определить по формулам (66) и (67).

Продифференцировав по времени равенства (78), найдем проекции ускорения точки в переносном поступательном движении:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Величину и направление полного переносного ускорения можно определить по формулам (66) и (67), применимым для всякого ускорения точки, независимо от того, является это ускорение абсолютным, относительным или переносным.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения точки (в рассматриваемом случае переносного поступательного движения), надо продифференцировать по времени равенства (103). Получим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(104)

Из этих равенств видно, что если переносное движение поступательное, то проекция абсолютного ускорения точки на ось состоит из суммы проекций на ту же ось относительного и переносного ускорений точки. Следовательно, вектор абсолютного ускорения точки в этом случае равен геометрической сумме двух векторов—относительного и переносного ускорений:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(104′)

В этом заключается теорема параллелограмма ускорений.

Равенства (104) и (104′) выражают связь между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки в случае, если переносное движение поступательное, и позволяют определить какое-либо одно из этих ускорений по двум другим.

Если относительное и переносное движения заданы в естественной форме, то для определения ускорений приходится сначала определять их нормальную и касательную составляющие. Так, для определения относительного ускорения надо определить относительное касательное и относительное нормальное ускорения, а уж потом по формулам (75) и (76)—полное относительное ускорение. Аналогично для определения переносного ускорения определяют переносные касательное и нормальное ускорения, а затем полное переносное ускорение. Для получения полного абсолютного ускорения нужно взять геометрическую сумму полного относительного и полного переносного ускорений, которые составляют между собой, вообще говоря, угол, отличный от прямого.

Приводим схему разложения полного абсолютного ускорения точки для случая переносного поступательного движения. При решении задач на параллелограмм ускорений бывает полезно написать эту схему и заполнять ее справа налево:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Часто определяют абсолютное ускорение по его проекциям ах, ay, az на оси основной системы координат и, получив проекции результирующего вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностикак алгебраические суммы проекций составляющих Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, на те же оси:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(106)

Эти равенства являются лишь некоторым видоизменением равенств (104).

Если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки состоит из суммы трех векторов: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса. Доказательство теоремы Кориолиса дано в § 31.

Пример №6

Кривошипио-кулнсный механизм приводного молота (рис. 120, а) состоит из прямолинейной поступательно движущейся кулисы АВ, в прорези которой скользит звено C (камень), соединенный шарнирно с кривошипом ОС длины e, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω. Найти скорость и ускорение кулисы как функции угла поворота кривошипа.

Решение. Будем рассматривать движение камня C как составное, состоящее из относительного движения по прорези кулисы и переносного движения вместе с кулисой. Для решения воспользуемся формулами (103) и (104). Примем неподвижный шарнир О за начало основной системы координат, направив ось Ox вправо и ось Oy вверх (рис. 120,6). Подвижную систему координат неизменно соединим с кулисой, взяв начало в точке E и направив ось Ex’ по прорези вправо, a Ey’- вверх. Движение подвижной системы координат, как и движение кулисы, поступательное. Ось Ex’ передвигается к неподвижной оси Ох, а ось Ey’ скользит по оси Оу.

Абсолютное движение камня есть круговое поступательное движение по отношению к основной системе координат. Для определения абсолютных скорости и ускорения обратим внимание на то, что точка C (шарнир) принадлежит не только камню, но и кривошипу, а потому абсолютная скорость точки C равна ωr. (см. рис. 120, б), а ее проекции:

Абсолютное ускорение точки C равно ω 2 r, а его проекции (рис. 120, в):

ах = — ω 2 r sin ωt и ay = ω 2 r cos ωt.

Эти равенства можно было бы получить, продифференцировав предыдущие.

Относительное движение камня — это возвратно-поступательное движение по прорези вправо и влево. Такое движение камня мы видели бы, если бы сами двигались вместе с кулисой, не замечая ее движения. Камень движется по горизонтальной оси Ex’, а потому

Проекции относительного ускорения:

Переносное движение камня (движение подвижной системы отсчета относительно основной) —возвратно-поступательное движение кулисы вверх и вниз. Поэтому проекции переносных скорости и ускорения на вертикальную ось Oy равны модулям скорости и ускорения со знаком «-(-» или «—», а на горизонтальную ось Ох—равны нулю. Имеем

Из трех движений камня нас интересует переносное движение (движение кулисы). Определив проекции переносной скорости

и подставив найденные значения, получим переносную скорость из уравнений

Таким образом, переносная скорость камня (скорость кулисы) определена.

Для определения переносного ускорения мы могли бы продифференцировать по времени выражение, полученное для переносной скорости (так как переносное движение прямолинейно-поступательное). Но мы применим более общий метод — определим из (104) проекции переносного ускорения:

подставим в эти уравнения найденные нами значения проекций переносного и абсолютного ускорений камня:

0 = — ω 2 r sin ωt-ar, ae = ω 2 r cos ωt.

Таким образом, переносное ускорение ае камня равно ω 2 r cos ωt. Оно же является ускорением кулисы.

Ответ. υ = ωr sιnωt; a = ω 2 r cos ωt.

Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса)

При составном движении точки в случае непоступательиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Величина ускорения Кориолиса

Теорема параллелограмма ускорений пригодна только в частном случае, если подвижная система отсчета движется поступательно. Если же переносное движение не поступательное, то у абсолютного ускорения появляется еще одна составляющая, называемая ускорением Кориолиса, или поворотным ускорением. Выведем формулы, позволяющие определить абсолютное ускорение при всяком составном движении точки.

Пусть точка M (рис. 121) движется относительно подвижной системы x’0y’z’ и это движение определяется какими-либо уравнениями

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 121

Пусть подвижная система отсчета вращается вокруг оси Oz основной системы согласно уравнению T==T (О-
Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101, стр. 165), при котором оси Oz’ и Oz подвижной и неподвижной систем совпадают между собой и с осью вращения, а плоскость х’Оу’ находится в плоскости хОу. Тогда координаты точки M в основной системе определятся соотношениями

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(107)

Эти равенства (107) отличаются от уже известных нам равенств (88) тем, что здесь координаты х’, у’ и z’ переменны, тогда как в равенствах (88) они были постоянны.

Если мы мысленно остановим точку M в ее относительном движении, т. е. будем считать ее координаты х’, у’ и z’ постоянными, но сохраним переносное вращение, то, дифференцируя равенства (88) по времени, найдем знакомые нам выражения (89) проекций вращательной скорости, которая в данном случае явится переносной скоростью точки М:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Дифференцируя вторично, найдем проекции переносного ускорения, которые выражаются также известными нам формулами (95):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное, т. е. будем считать Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипостоянной, a’, x’, у’ и z’ — переменными. Дифференцируя при таких условиях (107) по времени, определим проекции относительной скорости:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Заметим попутно, что, возводя каждое из этих равенств в квадрат, складывая и извлекая квадратный корень, мы определили бы величину относительной скорости (рис. 122). Если же мы возведем в квадрат и сложим лишь два первых равенства, то, извлекая корень, мы получим, очевидно, величину проекции относительной скорости на плоскость хОу:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Напомним, что вектор угловой скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлен по оси вращения, а потому угол γr есть угол между векторами относительной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Это соотношение скоро нам понадобится.

Чтобы получить проекции относительного ускорения, надо продифференцировать по времени выражения, полученные для проекций относительной скорости, по-прежнему считая φ постоянной. Имеем
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Чтобы определить проекции абсолютной скорости точки М, надо продифференцировать уравнения (107) по времени, считая все величины переменными. Имеем
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(103)

Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, следовательно, остается в силе и при вращательном переносном движении.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения, возьмем вторые производные, опять-таки считая все величины переменными. Имеем:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений, появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения ac:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(108)

Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса.
Определим величину ускорения Кориолиса:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

или, заменив корень полученным выше значением, находим окончательно

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(109)

Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное движение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.

Итак, если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(110)

В случае, если переносное движение непоступательное, необходимо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая принимает следующий вид:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(110 / )
Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схемой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.

Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательное

При каком движении бывает ускорение Кориолиса

В выражение (109) ускорения Кориолиса входят множителями относительная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относительной скорости точки, т. е. если υr = 0, то не может быть и ускорения Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступательное и ω = 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109) видно, что и в составном движении точки, и при переносном вращательном движении ускорение Кориолиса равно нулю, если относительная скорость параллельна оси вращения. Так, например, корабль, плывущий по меридиану, имеет ускорение Кориолиса, если рассматривать его движение как составное из относительного движения корабля и переносного движения Земли. Это ускорение равно удвоенному произведению скорости корабля на угловую скорость Земли и на синус географической широты (рис. 123) и равнялось нулю в то время, когда корабль пересекал экватор и его относительная скорость была параллельна вектору угловой скорости Земли.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 123

Физическая причина ускорения Кориолиса заключается в изменении вектора переносной скорости от относительного движения и вектора относительной скорости от переносного движения

Физическая причина ускорения Кориолиса

Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса, для чего представим себе два прямолинейных отрезка O1A1 и O2A2 (рис. 124), рис. 123 по которым движутся точки B1 и B2. Штрихами отмечены положения этих отрезков и точек через промежуток времени Δ t. Первый из отрезков движется поступательно, второй вращается вокруг O2.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 124

Существуют две физические причины ускорения Кориолиса:
1. Переносная скорость точки B1 не зависит от положения ее на отрезке O1A1, так как, по свойству поступательного движения, скорости всех точек прямой O1X1 между собой равны. Напротив, величина переносной скорости точки B2 равна ω . O2B2 и всецело зависит от ее положения. Переносная скорость точки B2 меняется от ее относительного движения. Чем быстрее движется точка B2 по прямой O2A2 и чем быстрее вращается эта прямая, тем значительнее изменяется переносная скорость точки B2. Таким образом, изменение скорости точки в данное мгновение (т. е. ускорение точки), вызванное указанной причиной, пропорционально величине агносительной и угловой скоростей. В этом заключается один из факторов, порождающих ускорение Кориолиса.

2. Направление относительной скорости точки B1 не меняется, так как, по свойству поступательного движения, прямая O1A1 передвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относительной скорости точки B2 непрерывно изменяется по мере вращения O2А2. Даже при прямолинейном относительном движении направление относительной скорости изменяется (вследствие переносного вращения). Изменение вектора скорости точки в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной, тоже пропорционально величине относительной и угловой скоростей, В этом заключается другой фактор, порождающий ускорение Кориолиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. По этой причине его иногда называют поворотным ускорением.

Вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен векторам угловой и относительной скоростей

Направление ускорения Кориолиса

При выводе формулы ускорения Кориолиса мы убедились, что проекция этого ускорения на Oz равна нулю. Отсюда следует, что вектор ускорения Кориолиса лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, или, иными словами, к вектору угловой скорости, который направлен по оси вращения Oz.

Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к осп вращения, и обозначим углы, составляемые им с осью Ox и Оу, через αc и βc. Направляющими косинусами являются:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Углы, составляемые относительной скоростью точки с теми же осями, обозначим через ar и βr:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сравнивая направляющие косинусы ускорения Кориолиса с направляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие перпендикулярности двух направлений—сумма произведений соответствующих направляющих косинусов равна нулю:

следовательно, ускорение Кориолиса перпендикулярно не только к угловой, но и к относительной скорости точки М.

Отсюда вытекает следующее правило: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону переносного вращения. Следовательно, если переносное вращение происходит в положительном направлении, то проекцию υrxy относительной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов, а если переносное вращение происходит в отрицательном направлении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускорения Кориолиса и относительной скорости.

Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направлению можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(109 / )

Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между векторами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(109 // )

В этом частном, но очень распространенном в технике случае для определения направления ускорения Кориолиса не нужно проецировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повернуть его на 90° в плоскости движения точки в сторону переносного вращения. Поясним это следующей задачей.

Пример №7

Стержень OA вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 125

Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скорости к оси вращения и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Кориолиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возможных случая изображены на рис. 125, а, б, в, г.

Пример №8

Прямая трубка (рис. 126) равномерно вращается с угловой скоростью ω = π рад/сек вокруг осн Oz, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Шарик M совершает гармонические колебания вдоль трубки по закону x’ = ОM = A sin πt. Определить ускорение шарика при t=4 сек.

Решение. Будем рассматривать движение шарика как составное, состоящее из движения относительно трубки и движения вместе с трубкой (рис. 126, а). Для решения задачи воспользуемся схемой (110′) (см. стр. 206).

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть

В относительном движении шарик имеет касательное ускорение

Относительное движение в данном случае прямолинейное, поэтому относительное нормальное ускорение αrN=0.

Переносное движение обусловлено вращением трубки. Мысленно остановим шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного вращения трубки, положив φo = 0:

Переносной скоростью шарика является вращательная скорость той точки среды (трубки), в которой в это мгновение находится шарик:

причем в этом выражении время t соответствует тому мгновению, в которое мысленно остановлен шарик, а потому t здесь нельзя рассматривать как переменную величину.

Переносное вращение равномерное, и переносное касательное ускорение равно нулю:
aeT = εr = 0.

Переносное центростремительное ускорение

aeN = ω 2 r — Aπ 2 sin πt,

где t имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.

Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:

Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (110′):
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

В мгновение t = 4 сек имеем:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Таким образом, абсолютное ускорение в это мгновение состоит из ускорения Кориолиса a = ac = 2Aπ 2 .

При t = 4 сек точка M совпадала с точкой О (x’ = A sin 4π = 0) и имела относительную скорость + Аπ, направленную в положительном направлении Ox’. Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор относительной скорости на 90° в сторону вращения трубки, т. е. против хода часовой стрелки.

При t = 4 сек угол поворота трубки φ = 4π и ось Ox’ совпадала с осью Ох. Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по положительной оси Оу.

Если мы не станем рассматривать движение шарика как составное, а изучим его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим, разумеется, тот же результат.

Составим уравнения движения шарика в основной системе координат (рис. 126, б):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Дифференцируя эти уравнения по времени, найдем проекции скорости:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Мы получили те же значения ускорения точки, не пользуясь ускорением Кориолиса. Из этого примера видно, что ускорение Кориолиса бывает лишь при составном движении точки.

Для определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим время из уравнений движения. Из второго уравнения находим Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, подставляем в первое уравнение и возводим в квадрат (рис. 126, в):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Это уравнение окружности с центром в точке x = 0, Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Чтобы убедиться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы , положив Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, тогда уравнение траектории примет вид:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Найдем уравнение движения шарика M по этой окружности:

dx = Аπ cos 2πt dt; dy = Аπ sin 2πt dt;

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Следовательно, шарик движется по своей траектории равномерно со скоростью υ= Аπ; при t = 4 сек он находится в наинизшей точке окружности, а нормальное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлено вертикально вверх.

Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика (как и движение всякого тела) можно представить различными способами и ускорение шарика в заданное мгновение (t = 4 сек) можно выразить различными формулами.

Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль трубки и одновременного вращения трубки. Тогда ускорение 2Аπt 2 шарика в заданное мгновение является ускорением Кориолиса.

Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых координатах, а ускорение 2Аπt 2 — проекциями на оси координат.

Можно, наконец, это движение шарика определить как равномерное движение со скоростью υ = Аπ по окружности радиуса Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии ускорение 2Аπt 2 представить как нормальное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.

Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и позволяют определить его характеристики.
Ответ. a = 2Аπt 2 .

Задача №1

Окружность радиуса г равномерно вращается по ходу стрелки часов с угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к ней в одной из ее точек C (рис. 127, а). По окружности движется точка M со скоростью υr = ωr, обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить ускорение точки М.

Решение. Движение точки будем рассматривать как составное, состоящее из относительного равномерного движения по окружности и переносного равномерного вращения самой окружности.
Напишем схему (110′) и будем заполнять ее справа (см. стр. 208).

Чтобы определить относительное движение точки М, мысленно остановим вращение окружности. Относительная скорость равна υr = ωr и направлена по касательной к окружности. Относительное касательное ускорение αrT = 0, а относительное нормальное направлено к центру О окружности и равно

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Чтобы определить переносное движение, мысленно закрепим точку M на окружности. Проведем хорду MC (рис. 127, б) и обозначим через δ угол, составляемый ею с диаметром, проходящим через С. Так как окружность вращается равномерно, то αeT = 0 и

αeN = ω 2 CM = ω 2 2r cos δ

и направлено по хорде MC к точке С.

Величина ускорения Кориолиса в нашем случае равна

Переносное вращение происходит по ходу стрелки часов, следовательно, для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости на 90° по ходу стрелки часов.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 127

Скорости и ускорения точки изображены на рис. 127, б, а ускорения записаны по схеме (110′):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Чтобы определить абсолютное ускорение точки М, надо сложить его составляющие. Сложив ускорение Кориолиса с противоположным ему по направлению нормальным относительным ускорением, найдем, что результирующий вектор этих двух ускорений равен ω 2 r и направлен в сторону ускорения Кориолиса:

2ω 2 r-ω 2 r = ω 2 r.

Чтобы сложить этот результирующий вектор с вектором переносного ускорения, воспользуемся теоремой косинусов (рис. 127, в). Имеем

a 2 = (ω 2 r) 2 + (2ω 2 r cos δ) 2 — 2 (ω 2 r) (2ω 2 r cos δ) cos δ = (ω 2 r) 2 .

Как видно из чертежа (рис. 127, в), абсолютное ускорение направлено параллельно ОС независимо от угла δ, т. е. независимо от положения точки M на окружности. Иными словами, независимо от положения точки M на окружности вектор ее абсолютного ускорения равен вектору ускорения центра окружности в его движении вокруг оси С.

Задача №2

В ручке молочного сепаратора по ее длине просверлен цилиндрический канал, закрытый с одной стороны металлической пластинкой (звонком) (рис. 128). В канале помещен металлический шарик. Если вращать ручку с недостаточной скоростью (менее 45 об/мин), то шарик ударится о звонок и даст соответствующий сигнал. Определить ускорение Кориолиса сигнального шарика, если ручка сепаратора наклонена к своей оси вращения под углом 75°, рабочий вращает ручку, делая 45 об/мин, а шарик движется по каналу по закону х’= 220 sin φ + 357e -φ мм.

Решение. Вектор угловой скорости ручки направлен по оси вращения, а относительная скорость шарика —вдоль канала, составляя с ним угол 75°. Ускорение Кориолиса определяем по формуле (105). Угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСинус 75° берем из таблиц или подсчитываем как sin (45°+30°) = 0,966.

Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по времени уравнение движения, в котором φ=ωt=1,5πt.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Рис. 128

Таким образом, имеем

αс = 2 • 1, 5π (330π cos φ—535πe — φ) 0,966.

Ответ. Ускорение Кориолиса равно 9420 cos φ—15300e -φ мм/сек 2 и направлено перпендикулярно к ручке и к ее оси.

Видео:Сложное движение точки. Задача 1Скачать

Сложное движение точки. Задача 1

Сложное движение точки и тела

При решении задач, в которых рассматривается сложное движение точки или тела, необходимо уметь правильно расчленить сложное (составное), или так называемое абсолютное движение, на переносное и относительное.

При расчленении сложного движения рекомендуется учитывать следующее. Абсолютное (составное) движение происходит относительно неподвижной системы координат. Обычно эту систему координат связывают с Землей или с неподвижными относительно Земли предметами: зданием, деревом, полотном дороги и т. д.

Переносное движение точки или тела происходит вместе с некоторой материальной средой (телом), внутри или на поверхности которой находится рассматриваемое в задаче тело или рассматриваемая точка. Таким образом, переносное движение — это движение

материальной среды вместе с точкой также относительно неподвижной системы координат.

Относительное движение точки или тела — это перемещение их внутри материальной среды, или по ее поверхности, независящее от движения самой материальной среды.

В тех случаях когда заданы движения двух (или более) тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться теми же приведенными выше соображениями.

Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, но в обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела — относительным. После этого очень просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому.

Этот последний прием использован при решении задач 177-36 и 184-37 и обычно его используют при рассмотрении планетарных механизмов (см. ниже § 40-9).

Решение всех задач на сложное движение необходимо иллюстрировать рисунком.

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой

При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость.

Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то:

  • перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях;
  • скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей.

Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в ту же сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение (и скорость) имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными.

Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №3

Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин.

Решение иллюстрировать рисунком, считая берега реки на данном участке прямолинейными и параллельными.

1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки —за материальную среду.

Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, — это абсолютное движение.

Переносное движение лодки—ее перемещение вместе с рекой; скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности= 4 км/ч, которую сообщает лодке река, — ее переносная скорость.

Относительное движение— перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом; скорость относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности= 8 км/ч.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и ту же сторону, то скорость лодки относительно берегов (абсолютная скорость)

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. За время Сложное движение точки теоретическая механика по окружностилодка вдоль берегов проходит расстояние

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
4. Иллюстрируем решение задачи следующим образом (рис. 211).

Изобразим на рисунке тот участок водного пространства, который проходит лодка независимо от того, перемещается этот участок воды или нет. За 20 Сложное движение точки теоретическая механика по окружностилодка успевает пройти по этому пространству из положения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив положение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностирасстояниеСложное движение точки теоретическая механика по окружности
За эти же 20 мин, или

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипоказанное водное пространство
переместится на расстояние

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Таким образом, лодка, находившаяся в начале рассматриваемого движения относительно берегов в точке Сложное движение точки теоретическая механика по окружностичерез 20 сек оказывается в точке Сложное движение точки теоретическая механика по окружностит. е. проходит расстояние

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Следовательно, скорость абсолютного движенияСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №4

Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 212, а). С какой скоростью второй автомобиль двигается относительно первого? Решение.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

1. Ответ «по соображению» получается мгновенно: Сложное движение точки теоретическая механика по окружностит. е. относительно первого второй автомобиль двигается со скоростью 20 км/ч, но в обратную сторону.

2. Объясним это решение с точки зрения теории сложного движения точки. Условно остановим первый автомобиль. Но тогда, чтобы не изменились условия движения, необходимо мысленно представить, что полотно дороги под вторым автомобилем и вместе с ним получает движение в обратную сторону со скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 212, б).

Находясь в условном переносном движении со скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивторой автомобиль относительно дороги движется со скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Поэтому результирующая обеих скоростей Сложное движение точки теоретическая механика по окружностичисленно равна их разности:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Как видно на рис. 212, а, результирующая направлена в сторону, противоположную скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №5

Расстояние s = 90 км между двумя пристанями, расположенными на роке, теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) за Сложное движение точки теоретическая механика по окружности= 3 ч и в обратном направлении (против течения) заСложное движение точки теоретическая механика по окружности= 5 ч. Определить скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

1. Теплоход, который принимаем за материальную точку, двигаясь по течению, имеет абсолютную скорость (скорость относительно берегов):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— искомая собственная скорость теплохода (относительная скорость);

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— скорость течения реки (переносная скорость).

При движении против течения абсолютная скорость теплохода
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
2. Движение теплохода по течению описывается уравнением (рис. 213, а)Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Движение теплохода против течения происходит по уравнению (рис. 213, б)

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
2. Решаем полученную систему уравнения. Из (а) и (б)
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Сложим правые и левые части этих уравнений:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Вычитаем из верхнего равенства нижнее:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч и скорость течения реки равна 6 км/ч.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №6

Расстояние между двумя пристанями, расположенными на реке, теплоход, двигаясь равномерно без остановки, проходит по течению реки за Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиа против течения (двигаясь в обратном направлении) — Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЗа какое время Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипроплывает это же расстояние плот, передвигаемый только течением реки?

Задачу надо решить в общем виде, а потом подставить числовые значения.

Ответ.Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу

Когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу, то перемещения и скорости складываются геометрически.

Таким образом, абсолютная скорость точки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяется как геометрическая сумма переносной Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии относительной оог„ скоростей;

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

т. е. либо как диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 214, а), либо как замыкающий вектор треугольника скоростей (рис. 214, б).

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
При решении задач на определение скоростей наиболее удобно применять графо-аналитический способ (см. § 3-1 настоящего пособия).

Если применяется правило параллелограмма, то модуль абсолютной скорости определяется по формуле, выведенной из теоремы косинусов

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Если применяется правило треугольника, то модуль абсолютной скорости определяется по теореме синусов.

Направление абсолютной скорости по отношению к Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиможно найти также при помощи теоремы синусов.

В частном случае, когда параллелограмм скоростей превра шается в прямоугольник или когда треугольник скоростей получается прямоугольным, для решения задачи используются тригонометрические функции и теорема Пифагора (см. ниже задачи 181-37, 182-37, 185-37).

Бели в частном случае Сложное движение точки теоретическая механика по окружностито при геометрическом сложении таких скоростей образуется ромб (рис. 215, а) или равнобедренный треугольник (рис. 215, б), тогда
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №7

Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом Сложное движение точки теоретическая механика по окружностик вертикали. Скорость движения автомобиля 40 км’ч. Определить, с какой скоростью надают капли дождя.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

1. Изобразим движение капли дождя на рисунке (рис. 216). Капли падают вертикально, следовательно, скорость ик какой-либо капли К относительно Земли является скоростью абсолютного (составного) движения. И эту скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиможно представить в виде геометрической суммы горизонтально направленной переносной скорости автомобиля Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— относительно скорости капли при ее движении по стеклу автомобиля.

2. Получившийся параллелограмм скоростей диагональ делит на два прямоугольных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, найдем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Переводим полученную скорость падения капель в м/сек:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №8

От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки: скорость лодки относительно берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.

1. Изобразим на рисунке движение лодки (рис. 217). Представим, что лодка отплывает из точки А на правом берегу. Если бы

не было течения, она достигла бы противоположного берега в точке В; известно, что ширина реки Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНо лодку сносит вниз по течению (переносное движение) на расстояние Сложное движение точки теоретическая механика по окружности0,6 км и поэтому движение лодки относительно берегов (абсолютное движение) происходит но прямой АС.

Обозначим точкой L положение лодки через некоторое время после начала движения. Скорость лодки относительно берегов — абсолютная скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— направлена вдоль прямой АС и складывается из собственной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностисообщаемой гребным винтом или веслами, и из переносной скорости течения реки Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

2. Допустим, что нет течения реки, тогда лодка будет перемещаться относительно берегов так же, как и относительно воды, по прямой АВ и ее движение опишется уравнением

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где t — время переправы (t=12 мин =0,2 ч).

Отсюда находим собственную скорость лодки (скорость лодки относительно воды — относительную скорость)

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Если лодка будет плыть, подчиняясь только течению реки, ее движение опишется уравнением

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Из этого уравнения найдем скорость течения реки:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

4. Теперь из прямоугольного треугольника скоростей (см. рис. 217) легко найти скорость лодки относительно берегов — абсолютную скорость:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №9

Трассы двух воздушных лайнеров пересекаются над поселком А. Первый лайнер летит точно на север, второй лайнер — на юго-восток. Скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиобоих лайнеров численно равны (Сложное движение точки теоретическая механика по окружности). Определить, чему равна и как направлена в этот момент скорость второго лайнера относительно первого.

Решение 1—методом «остановки» одного из тел.

1. Обозначим точкой А поселок, над которым» в определенный момент находятся оба лайнера. Покажем страны света: С —север, Ю — юг, В —восток и 3 —запад. Изобразим скорости лайнеров относительно Земли: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности—скорость первого лайнера и Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— скорость второго (рис. 218, а).
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

2. Так как нужно определить скорость второго лайнера относительно первого, то мысленно первый лайнер остановим над пунктом А, а воздушной среде вместе со вторым лайнером сообщим скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностино в обратную сторону по отношению к скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностирис. 218, б). Тогда скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивторого лайнера приобретет значение относительной скорости (скорости относительно перемещающейся воздушной среды).

3. Сложив по правилу параллелограмма скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(см. рис. 218, б), получим скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности( изображающую скорость второго лайнера по отношению к первому.

4. Так как скорости лайнеров Сложное движение точки теоретическая механика по окружностичисленно равны Сложное движение точки теоретическая механика по окружности Сложное движение точки теоретическая механика по окружностито параллелограмм скоростей на рис. 218, б — ромб и, следовательно [см. формулу (3) в начале этого параграфа], числовое значение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиравно:
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Таким образом, второй лайнер движется относительно первого со скоростью, численно равной и, как видно из рис. 218, б, удаляется от него на юго-юго-запад, т. е. под углом 157°30′ (903 + 45° + 22‘30′) к направлению скорости первого лайнера.

* Когда будет определен этот угол, его нужно сравнить с углом между векторами Сложное движение точки теоретическая механика по окружностииз предыдущей задачи.

Решение 2 —методом разности скоростей.

1. Из выражения геометрической суммы скоростей

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
следует, что
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
2. Для определения скорости второго лайнера относительно первого примем за абсолютную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— скорость первого лайнера и за переносную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— скорость второго лайнера; тогда искомую относительную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиполучим как разность (см. рис. 3)Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Чтобы произвести вычитания векторов, необходимо конец вычитаемого вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностисоединить с концом уменьшаемого вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив направлении от первого ко второму искомым вектором Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 218, в).

4. В результате построения имеем равнобедренный треугольник скоростейСложное движение точки теоретическая механика по окружностииз которого легко найти, что числовое значение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Угол Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяющий в данный момент направление вектора Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиотносительно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяется непосредственно по рис. 218, в.

Задача №10

В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади кулисы) длиной l= 400 мм вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружности=10 рад/сек. Концом А, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, кривошип сообщает кулисе ВС возвратно-поступательное движение. Определить скорость кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис. 219, а).

1. В данном случае движение точки А вместе с кривошипом можно считать сложным, т. е. получающимся в результате сложения:

а) движения точки А вместе с кулисой в ее возвратно-поступательном (переносном) движении вдоль оси х;

б) относительного движения точки А вместе с камнем, движущимся возвратно-поступательно в прорези кулисы в направлении, перпендикулярном к оси х.

2. Абсолютная скорость точки А, модуль которой легко определяется по формуле Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена перпендикулярно к кривошипу ОА. Переносная скорость точки А равна поступательной скорости кулисы Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлена по прямой АО (рис. 219, б). Относительная скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружноститочки А, равная скорости камня в прорези кулисы, направлена по прямой Ас.

3. Изобразим скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружности Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивектором, перпендикулярным к ОА. Разложим ее на составляющие уоти и Сложное движение точки теоретическая механика по окружностикак показано на рис. 219, б. Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиизображает искомую скорость кулисы.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

4. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и, следовательно,Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Таким образом, в данный момент кулиса перемещается вниз со скоростью 2 м,сек.

Чтобы лучше проанализировать движение кулисы, необходимо знать, когда кулиса двигается ускоренно, когда замедленно, при каких положениях кривошипа кулиса имеет максимальную скорость и чему равна эта скорость, при каких положениях кривошипа скорость кулисы равна нулю?

Следующие задачи рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №11

Кривошип 0С=30 см вращается равномерно с угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии приводит в возвратно-поступательное движение кулису АВ при помощи ползуна С, передвигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиползуна в прорези кулисы и скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностисамой кулисы в тот момент, когда кривошип составляет с горизонталью угол а = 35° (рис. 220). Ответ. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача 187-37. Кривошип ОС = 20 см вращается равномерно с угловой скоростью n = 180 об/мин и приводит в движение качающуюся кулису АВ при помощи ползуна С, двигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиползуна в прорези кулисы и угловую скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностикулисы в тот момент, когда кривошип составляет с вертикалью угол а=40°. Расстояние /40 = 40 см (рис. 221).

Ответ. Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки в плоскости

постановка задачи. Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному законуСложное движение точки теоретическая механика по окружности. В канале, расположенном на фигуре, движется точка М по закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки М представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости. Ось z, на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси Сложное движение точки теоретическая механика по окружностион виден против часовой стрелки.

Искомые величины получаем из векторных равенств:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— соответственно относительные и переносные скорости и ускорения: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— ускорение Кориолиса .

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиКориолис Гаспар Гюстав (1792-1843) французский механик и математик.

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличенияСложное движение точки теоретическая механика по окружности, если Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии в обратную сторону в противном случае; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— расстояние от точки М в положении Сложное движение точки теоретическая механика по окружностидо оси переносного вращения.

4. Находим переносную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде переносная угловая скорость

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем перпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив сторону переносного вращения.

5. Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивекторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

R — радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории, вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем перпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружности, вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к оси переносного вращения (вдоль Сложное движение точки теоретическая механика по окружности).

8. Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиТак как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиповоротом на 90° вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиперпендикулярен относительной траектории.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Модуль абсолютного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №12

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей через вершину А, по закон Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиОсь вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса R = 10 см с центром в точке С, расположенному на прямоугольнике, движется точка М. Дуговая координата точки меняется по закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиДано: АВ = 12 см, ВС = 15 Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Движение точки М представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри
Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЖуковский Николай Егорович (1847-1921) русский ученый, основоположник гидроаэродинамики. Преподавал теоретическую механику в МГУ. Правило Жуковского для общего случая см. с. 204

Гл.9.Сложное движение точки

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат. За время Сложное движение точки теоретическая механика по окружноститочка проходит по дуге окружности путь Сложное движение точки теоретическая механика по окружности Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЦентральный угол, соответствующий этой дуге, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиИзображаем точку в этом положении (рис.110).

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при t = 1с:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлен по касательной к окружности.

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

4. Находим переносную скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиПереносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент с М Сложное движение точки теоретическая механика по окружности.Угловая скорость фигуры, при t =1с,

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Отсюда Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

5. Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1). Модуль абсолютной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаходим, проецируя

это равенство на неподвижные оси координат х, у (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Тригонометрические функции угла Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивычисляем по формулам

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Модуль абсолютной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиИногда переносная скорость обозначается Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(от французского слова emporter), реже Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(от английского слова transport), а относительная — Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(от английского слова relativ). Эти же индексы используются и для других компонентов сложного движения.

6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Модуль относительного ускорения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по радиусу окружности к точке Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— по касательной, в сторону увеличения дуги КМ, так как Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис.11)

7. Вычисляем переносное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиТраектория переносного движения точки — окружность радиуса Сложное движение точки теоретическая механика по окружностис центром А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии угловым ускорением

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусу Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к центру А. Модуль переносного ускорения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

8. Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. Модуль вектора ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяем по формуле Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— угол междуСложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиперпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиравен 90°. Имеем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на 90° вектора относительной скорости
Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЭто ускорение называют иногда поворотным, а в англоязычной литературе — supplementary (дополнительным).

по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 112).

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат (рис. 111):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Находим модуль ускорения: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки в пространстве

Постановка Задачи. Геометрическая фигура вращается по заданному закону вокруг неподвижной оси, лежащей в ее плоскости. По каналу, расположенному на фигуре, движется точка М по известному закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

Искомые величины получаем из векторных равенств

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— соответственно относительные и переносные скорости и ускорения; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— ускорение Кориолиса. Решение задачи о сложном движении точки в пространстве отличается от аналогичной задачи, где точка движется в плоскости (с. 195) тем, что векторные суммы для абсолютных величин вычисляются по трем компонентам, а ускорение Кориолиса содержит синус угла между вектором переносной угловой скорости и относительной скоростью. Относительная скорость в этих задачах всегда перпендикулярна переносной, что упрощает вычисление модуля их суммы.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим величину относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиесли Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии в обратную сторону в противном случае; Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— расстояние от точки М в расчетном положении до оси переносного вращения.

4. Находим модуль переносной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде переносная угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностирасполагается в плоскости перпендикулярной оси вращения и направлен перпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностив сторону переносного вращения.

5. Определяем величину абсолютной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории, вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем перпендикулярно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к оси переносного вращения (вдоль Сложное движение точки теоретическая механика по окружности).

8. Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Н.Е. Жуковского поворотом на 90° проекции вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо направлению переносного вращения.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Ось Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляем по оси вращения. Модуль абсолютного ускорения

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №13

Прямоугольник ABCD вращается вокруг неподвижной оси, проходящей по стороне DC (рис. 113). По круговому каналу радиуса R = 12 см с центром в точке О, расположенному на прямоугольнике, движется точка М по законуСложное движение точки теоретическая механика по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки при Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипри Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Находим центральный угол, соответствующий дуге ВМ:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Изображаем точку в этом положении (рис. 114).
9.2.Сложное движение точки в пространстве

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим относительную скорость:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Траекторией переносного движения является окружность с центром N. Относительна скорость точки М направлена по касательной к этой окружности. Траектория лежит в плоскости ху, перпендикулярной к оси вращения Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНаходим радиус окружности:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

4. Находим переносную скорость. Вычисляем угловую скорость вращения прямоугольника ABCD:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вычисляем переносную скорость

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

5. Определяем величину абсолютной скорости. Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностилежит в плоскости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлен по оси х, следовательно, они перпендикулярны. Модуль скорости

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. Находим нормальную составляющую ускорения точки, движущейся по окружности радиуса R:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Оба вектора лежат в плоскости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(рис.115.),Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

7. Вычисляем компоненты переносного ускорения. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии угловым ускорением

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправлен по оси х, вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— к оси вращения вдоль оси у.

8. Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивсегда направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против часовой стрелки. В нашем случае — вверх.
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Угол Сложное движение точки теоретическая механика по окружностимежду Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиравен 150°. Определяем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Для того, чтобы найти направление вектора ускорения Кориолиса, воспользуемся правилом Жуковского (рис. 116). Проецируем вектор относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина плоскость перпендикулярную оси вращения, т.е. на плоскость ху. Повернув проекцию Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо направлению переносного вращения на 90°, получаем направление вектора ускорения Кориолиса. Вектор Сложное движение точки теоретическая механика по окружностилежит на оси х и направлен в сторону отрицательных значений.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Окончательно, абсолютное ускорение точки М

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Движение точки по звену механизма

Постановка Задачи. Плоский шарнирно-стержневой механизм приводится в движение кривошипом, который вращается с заданной угловой скоростью. Вдоль одного из стержней по известному закону движется тючка М. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Представляем движение точки в виде суммы относительного движения по звену механизма и переносного движения вместе со звеном.

1. Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая се начало с положением одного из шарниров механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляя ее в сторону движения точки. Зная закон относительного движения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(он задан в условии), определяем положение точки относительно звена и неподвижных осей ху в расчетный момент. Определяем координаты х и у шарниров.

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось и:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Зная угол между осями Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаходим проекции векторов Сложное движение точки теоретическая механика по окружностина оси ху.

3. Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор скорости той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Эта скорость является переносной скоростью для точки М.

4. Определяем вектор абсолютной скорости, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии его модуль,Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

5. Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.4, с. 183, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М.

6. Находим ускорение Кориолиса:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— вектор угловой скорости звена, по которому движется точка.

7. Находим абсолютное ускорение, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностии его модуль: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №14

Плоский шарнирно-стержневой механизм ОABC приводится в движение кривошипом OA =60 см, который вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВдоль стержня АВ движется точка М по закону Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Положение механизма при Сложное движение точки теоретическая механика по окружностис указано на рис. 117; АВ =120 см, ВС =80 см, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в этот момент.

Абсолютное движение точки представляем в виде суммы относительного движения по звену АВ и переносного движения вместе с ним. Переносные скорость и ускорение являются соответственно скоростью и ускорением той точки звена, в которой в данный момент располагается точка М.

1. Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая ее начало с положением шарнира А механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня АВ, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаправляя ее в сторону движения точки (рис. 118). Зная закон относительного движенияСложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяем положение точки относительно звена при t = 2 с: Сложное движение точки теоретическая механика по окружностит.е. точка находится в центре звена АВ. Определяем координаты шарниров в неподвижных осях координат:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиПроекция угловой скорости на ось Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиперпендикулярную плоскости чертежа, Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиследовательно, кривошип вращается против часовой стрелки.

2. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипо времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Угол между осями Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиравен Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНаходим проекции: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых скоростей (§ 8.3, с. 179):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где по условию Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиРешаем систему двух уравнений относительно Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиПодставляя численные значения, получаем Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСкорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиопределяем из

равенства Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Переписываем это равенство в виде
Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Получаем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Модуль переносной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

4. Определяем проекции.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

и модуль абсолютной скорости: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

5. Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых ускорений (уравнение (2), с. 184), где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Находим Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиВычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М. Учитывая, что Сложное движение точки теоретическая механика по окружностизаписываем векторное равенство

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Раскрывая векторные произведения по аналогии с (1), вычисляем

Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЭто ускорение является переносным для точки М:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

*) Можно выполнить простую геометрическую проверку вычисления Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиКонцы векторов Сложное движение точки теоретическая механика по окружности(построенных в масштабе) должны лежать на одной прямой. Векторы Сложное движение точки теоретическая механика по окружностистроим перпендикулярно звеньям OA и ВС соответственно, а их величины вычисляем по известным угловым скоростям — Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Модуль переносного ускорения Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

6. Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— вектор угловой скорости звена АВ, по которому движется точка:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Модуль ускорения КориолисаСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

7. Вычисляем абсолютное ускорение Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

и его модуль Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Результаты заносим в таблицу. Скорости в м/с, ускорения — в Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиугловая скорость — в рад/с, угловое ускорение — в Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиСложное движение точки теоретическая механика по окружности

Механизм с муфтой

Постановка Задами. Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты, скользящей по направляющему стержню и шарнирно закрепленной на другом стержне или на неподвижном шарнире. Задана угловая скорость ведущего звена механизма. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня.

1. Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню механизма и переносного движения вместе с этим стержнем. Траекторией относительного движения муфты является прямая. Задачу решаем, используя координатную запись векторных соотношений для скоростей при плоском движении. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма (§ 8.1, с. 158, § 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188).

3. Записываем уравнение сложения скоростей: Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде абсолютная скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиили относительная скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивыражается через скорости шарниров механизма. Составляем уравнение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Это векторное уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНаправление этого вектора всегда известно и задается направлением стержня, по которому скользит муфта Сложное движение точки теоретическая механика по окружности. В зависимости от варианта задачи второй неизвестной может быть угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиили Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде N и К — точки механизма с известными скоростями.

Если муфта скользит по стержню КМ, угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностикоторого известна, то неизвестной величиной будет угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностизвена, шарнирно соединяющего муфту с неподвижной точкой Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиили с шарниром N механизма с известной скоростью.

Если муфта шарнирно закреплена на стержне NM с известной угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностито неизвестной величиной будет угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностизвена, по которому скользит муфта, где точка К неподвижна или является шарниром с известной скоростью.

Если муфта закреплена на неподвижном шарнире, то абсолютная скорость равна нулю Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Решаем векторное уравнение (1). Определяем Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Задача №15

Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты D, скользящей по направляющему стержню (кривошипу) OA. Муфта шарнирно закреплена на стержне BD. Кривошип вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиДаны длины: OA = 40 см, АВ = 111 см, ВС = 43 см, ОС = 62 см. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня в тот момент, когда Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиа муфта находится на середине кривошипа: OD = ОА/2 (рис. 119).

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности
Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНаправляющий стержень.

1. Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню OA и переносного движения вместе с .этим стержнем. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты. Помещаем начато координат в точку С (рис. 120) и вычисляем координаты:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Координаты точки В найдем из системы уравнений

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Система имеет два решения (задача о точках пересечения двух окружностей с радиусами АВ и ВС). Выбираем то решение, у которого Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Нелинейную систему уравнений удобно решать на компьютере, например, в системе Maple V. Программа решения имеет вид

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Числа заносятся в десятичной форме: АВ: =111.0 и т.д.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма (рис. 120) и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма. Записываем уравнения трех угловых скоростей четырехзвенника ОABC (§8.3, с. 179):

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

При Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Получаем решение: Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиЗная Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинаходим

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Компоненты скорости имеют следующие значения:

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

3. Записываем уравнение сложения скоростей Сложное движение точки теоретическая механика по окружностигде абсолютная скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностивыражается через известную скорость шарнира В. Составляем векторное уравнение

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Это уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиНаправление этого вектора известно и задается направлением стержня OA, по которому скользит муфта. Вторая неизвестная — угловая скорость Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиПодставляем численные значения. Уравнение (2) принимает вид

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

где Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— проекция относительной скорости муфты на ось, направленную от О к А. Находим решение системы: Сложное движение точки теоретическая механика по окружности Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиТаким образом, в указанный момент муфта движется по стержню OA вверх со скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Замечание. Эту задачу можно решить по крайней мере ещё двумя способами. Во-первых, методами аналитической геометрии можно найти расстояние Сложное движение точки теоретическая механика по окружностиот шарнира О до муфты D как функцию времени. Дифференцируя Сложное движение точки теоретическая механика по окружностинайдем относительную скорость. Во-вторых, можно найти скорость стержня OA относительно муфты. Подвижная система координат будет связана с муфтой. В этом случае абсолютная скорость точки стержня OA под муфтой — это скорость точки тела при вращательном движении с угловой скоростью Сложное движение точки теоретическая механика по окружностипереносная — скорость муфты, выраженная через скорость шарнира В.
Замечание. В ответах, помимо искомой относительной скорости, даны промежуточные результаты — скорости точек А, Б и D. Причем в вариантах 1,2,7,8 Сложное движение точки теоретическая механика по окружности— это скорость той точки направляющего стержня, в которой в этот момент находится муфта.

Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Сложение движение твердого тела
  • Кинематика сплошной среды
  • Аксиомы классической механики
  • Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Мгновенный центр вращения
  • Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорение

iSopromat.ru

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Сложным называют движение точки по отношению к двум или нескольким системам отсчета.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

Законы Ньютона сформулированы для движения точки по отношению к инерциальным системам отсчета. Для определения кинематических параметров точки при движении относительно произвольно движущейся системы отсчета вводится теория сложного движения.

На рисунке 3.1 показаны:

  1. условно принимаемая за неподвижную система отсчета O1x1y1z1;
  2. движущаяся относительно неподвижной система отсчета Oxyz;
  3. точка M, перемещающаяся по отношению к подвижной системе отсчета.

Движение точки M в данном случае является сложным. Её движение по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением.

Движение той точки подвижной системы отсчета, в которой в данный момент находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе отсчета называют переносным движением. Движение точки M по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением.

По аналогии с этими определениями будут называться относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорения точки. Для их обозначения в относительном движении часто всего используется индекс r (relative – относительный) — Vr , ar; в переносном движении индекс e (entrained — увлекать за собой) — Ve , ae.

Ниже приведен пример сложного движения точки — M.

Сложное движение точки теоретическая механика по окружности

На рисунке 3.2,а показан квадрат, вращающийся в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки. По стороне квадрата движется точка M. Она участвует в двух движениях, поэтому можно ввести две системы отсчета: неподвижную, например, O1x1y1z1 — по отношению к которой вращается квадрат и подвижную Oxyz, скрепленную с квадратом, по оси Oy которой движется точка M (рисунок 3.2,б).

Движение точки M по стороне квадрата (по оси Oy скрепленной с квадратом подвижной системы) является относительным — скорость в этом движении Vr.

Вращение точки M вместе с квадратом — переносное движение, скорость в этом движении — Ve. Абсолютное движение является результатом сложения переносного и относительного движений.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

🎥 Видео

Кинематика. 4.3. Сложное движение точки на примере диска. Определение абсолютной скорости точки.Скачать

Кинематика. 4.3. Сложное движение точки на примере диска. Определение абсолютной скорости точки.

Сложное движение точки. Часть 1Скачать

Сложное движение точки. Часть 1

Кинематика точки Движение по окружностиСкачать

Кинематика точки  Движение по окружности

Сложное движение точкиСкачать

Сложное движение точки

Сложное движение точки #2Скачать

Сложное движение точки #2

Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Сложное движение точки #3Скачать

Сложное движение точки #3

Ускорение Кориолиса. Авторы: Шабалин Руслан, Швецов ВиталийСкачать

Ускорение Кориолиса. Авторы: Шабалин Руслан, Швецов Виталий

Сложное движение точки, Леннаучфильм, 1978Скачать

Сложное движение точки, Леннаучфильм, 1978

Термех. Сложное движение точки. Определение абсолютной скорости и ускорения.Скачать

Термех. Сложное движение точки. Определение абсолютной скорости и ускорения.

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точкиСкачать

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Вращательное движение. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: