Сложение векторов магнитной индукции

Принцип суперпозиции вектора индукции магнитного поля

Часто в задачах источников магнитного поля несколько. Тогда возникает вопрос о суммарном векторе магнитной индукции в интересующей нами точке пространства. В общем, принцип суперпозиции звучит как: суммарный вектор магнитной индукции в точке есть векторная сумма векторов магнитной индукции от каждого из источников или формульно:

  • где
    • — вектор полной магнитной индукции в точке,
    • — векторная сумма векторов магнитной индукции от каждого из источников.

Сложение векторов магнитной индукции

Рис. 1. Принцип суперпозиции магнитных полей

Пусть даны два магнитных поля, индукция которых в некой точке А равны и (рис. 1.1). Полный вектор магнитной индукции суммарного поля найдём из (1) как: . Нахождение суммарного вектора — вопрос математического сложения векторов. Воспользуемся правилом параллелограмма для нахождения суммарного вектора (рис. 1.2). Для нахождения модуля этого вектора чаще всего пользуются или теоремой Пифагора, или теоремами синусов/косинусов. В случае нескольких источников магнитного поля (несколько векторов), для получения общего вектора необходимо их всех векторно сложить (к сожалению, это иногда трудновато, но можно).

Видео:Поток вектора магнитной индукцииСкачать

Поток вектора магнитной индукции

Принцип суперпозиции магнитных полей

теория по физике 🧲 магнетизм

Если в некоторой точке пространства накладываются магнитные поля, то результирующий вектор магнитной индукции находят как геометрическую сумму вектором магнитной индукции, составляющих магнитное поле:

Частные случаи принципа суперпозиции полей

Сложение векторов магнитной индукции, направленных вдоль одной прямой
Сложение векторов магнитной индукцииЕсли → B 1 ↑ ⏐ ⏐ ↑ ⏐ ⏐ → B 2 , то:
Сложение векторов магнитной индукцииЕсли → B 1 ↑ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ↓ → B 2 , то:

Сложение векторов магнитной индукции, перпендикулярных друг другуСложение векторов магнитной индукцииЕсли → B 1 ⊥ → B 2 , то применяется теорема Пифагора:

B = √ B 1 2 + B 2 2

Сложение векторов магнитной индукции, расположенных под углом друг другуСложение векторов магнитной индукцииВ этом случае применяется теорема косинусов:

B = √ B 1 2 + B 2 2 − 2 B 1 B 2 cos . ( 180 ° − α )

Пример №1. По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые токи I (см. рисунок). Как направлено (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) создаваемое ими магнитное поле в точке С?

Сложение векторов магнитной индукции

Чтобы определить направление результирующего вектора магнитной индукции, сначала определим направление линий магнитной индукции в точке С для каждого из полей. Применив правило буравчика, получим, что силовые линии первого поля направлены в точке С от нас, а второго поля — к нам. Но точка С находится на разных расстояниях от проводников. Она ближе к проводнику 1. Поскольку магнитное поле ослабевает с увеличением расстояния, то модуль вектора магнитной индукции первого поля в точке С будет больше вектора магнитной индукции второго поля. Поскольку они не компенсируют друг друга, и первое поле в этой точке сильнее второго, то результирующий вектор магнитной индукции в точке С направлен в сторону от наблюдателя.

Сложение векторов магнитной индукцииНа рисунке показаны сечения двух параллельных прямых длинных проводников и направления токов в них. Сила тока в проводниках одинакова. Куда направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор индукции созданного проводниками магнитного поля в точке А, расположенной на равном расстоянии от проводников? Ответ запишите словом (словами).

Алгоритм решения

Решение

Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор → B 1 магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.

Поскольку во втором проводнике направление тока противоположно направлено току в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля направлены по ходу часовой стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор → B 2 магнитной индукции в ней тоже направлен вверх.

Сложение векторов магнитной индукции

Поскольку сила тока в обоих проводниках одинаковая, результирующий вектор магнитной индукции в точке А равен удвоенному вектору магнитной индукции поля, создаваемого каждым из этих проводников. В этом случае он направлен вверх так же как векторы → B 1 и → B 2 .

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Сложение векторов магнитной индукцииНа рисунке показаны сечения двух параллельных длинных прямых проводников и направления токов в них. Сила тока I1 в первом проводнике больше силы тока I2 во втором. Куда направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор индукции магнитного поля этих проводников в точке А, расположенной точно посередине между проводниками? Ответ запишите словом (словами).

Алгоритм решения

Решение

Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор → B 1 магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.

Поскольку во втором проводнике направление тока совпадает с направлением тока в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля тоже направлены против хода часовой стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор → B 2 магнитной индукции в ней направлен вниз.

Сложение векторов магнитной индукции

Поскольку сила тока в первом проводнике больше, он создает более сильное магнитное поле. Следовательно, модуль вектора → B 1 магнитной индукции больше модуля вектора → B 2 . Тогда вектор, являющийся их геометрической суммой, будет направлен вверх.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Сложение векторов магнитной индукцииНа рисунке показаны сечения двух параллельных длинных прямых проводников и направления токов в них. Как направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор магнитной индукции в точке А, находящейся точно посередине между проводниками, если сила тока I2 во втором проводнике больше силы тока I1 в первом проводнике? Ответ запишите словом (словами).

Алгоритм решения

Решение

Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор → B 1 магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.

Поскольку во втором проводнике направление тока совпадает с направлением тока в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля тоже направлены против хода часов стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор → B 2 магнитной индукции в ней направлен вниз.

Сложение векторов магнитной индукции

Поскольку сила тока во втором проводнике больше, он создает более сильное магнитное поле. Следовательно, модуль вектора → B 2 магнитной индукции больше модуля вектора → B 1 . Тогда вектор, являющийся их геометрической суммой, будет направлен вниз.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Видео:Линии магнитной индукции наглядно. Правило правой рукиСкачать

Линии магнитной индукции наглядно. Правило правой руки

Сложение векторов магнитной индукции

где μ0 = 4p·10 -7 Гн/м — магнитная постоянная.

Формула (3.6.1) записана в системе СИ. Это соотношение было установлено в 1820 г. Андре Ампером и носит название закона Ампера.

С помощью формулы (3.6.1) устанавливается единица силы тока в системе СИ: 1 А определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2·10 -7 Н на каждый метр длины.

Взаимодействие токов осуществляется посредством поля, которое называется магнитным . Для исследований магнитного поля применяют пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентацию контура в пространстве характеризует вектор нормали к его плоскости, причем положительным считают направление нормали, связанное с направлением тока по правилу правого винта (Рис. 3.6.1).

Рис. 3.6.1. Пробный контур

Если внести пробный контур в магнитное поле, то обнаружится, что поле оказывает на контур ориентирующее действие, поворачивая его в определенном направлении. Это направление и принимают за направление магнитного поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращающий момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина этого момента зависит от угла a между нормалью и направлением тока, достигая наибольшего значения Ммакс при α=90°, и обращается в нуль при α=0°.

Введем магнитный момент контура:

(3.6.2)

где S — площадь контура.

Тогда, исходя из опыта, можно записать:

(3.6.3)

где для количественной характеристики магнитного поля введена физическая величина, называемая магнитной индукцией .

Соотношение (3.6.3) определяет модуль вектора В. Следовательно, выполняется:

(3.6.4)

Направление вектора совпадает с направлением нормали к пробному контуру. Поле этого вектора наглядно представляют с помощью линий магнитной индукции.

Из сказанного следует, что вектор характеризует силовое действие магнитного поля.

3.6.2. Закон Био-Савара-Лапласа.
Магнитные поля прямого и кругового токов

Для расчета магнитной индукции поля в результате обобщения экспериментальных данных Био и Савара Лаплас предложил формулу:

(3.6.5)

где i — сила тока, — вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный так же, как и ток, — вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, где производится наблюдение поля (Рис. 3.6.2).

Рис. 3.6.2. К закону Био-Савара-Лапласа

Направление вектора задается векторным произведением в (3.6.5), т.е. этот вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и , причем так, что, если смотреть из конца вектора , то поворот от вектора к производится против часовой стрелки. Единицей магнитной индукции в СИ является 1 Тл (Тесла).

Модуль вектора можно вычислить с помощью формулы:

(3.6.6)

где α — угол между векторами и .

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 3.6.3).

Рис. 3.6.3. К расчету магнитного поля бесконечного прямого проводника

Все векторы в данной точке имеют одинаковое направление (перпендикулярно плоскости чертежа и за него).

Поэтому сложение этих векторов можно заменить сложением их модулей. Пусть точка, для которой вычисляется поле, находится на расстоянии b от проводника. Из Рис. 3.6.3 ясно, что:

(3.6.7)

Подставим этот результат в формулу (3.6.6):

(3.6.8)

Угол α изменяется от 0 до π. Следовательно, получим:

(3.6.9)

Линии магнитной индукции поля прямого проводника представляют собой систему концентрических окружностей (Рис. 3.6.4).

Рис. 3.6.4. Магнитное поле прямого проводника

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по проводнику в виде окружности радиуса R (Рис. 3.6.5).

Рис. 3.6.5. К расчету поля кругового тока

Найдем магнитную индукцию в центре окружности. Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Ее направление определяется по правилу правого винта. Поэтому вычисление магнитной индукции сводится к сложению модулей. Поскольку α = π/2, то из формулы (3.6.6) следует:

(3.6.10)

Интегрируя (3.6.10) по всему контуру, получим:

(3.6.11)

Найдем магнитную индукцию на оси кругового тока, на расстоянии х от плоскости, в которой лежит контур (Рис. 3.6.6).

Рис. 3.6.6. Магнитное поле на оси кругового тока

Векторы перпендикулярны к плоскостям, проходящим через векторы и . Следовательно, они образуют симметричный конус. Ясно, что результирующий вектор должен быть направлен по оси контура. Каждый из векторов вносит вклад , который по модулю равен:

(3.6.12)

Угол между векторами и — прямой, поэтому выполняется:

(3.6.13)

Интегрируя по всему контуру с током и учитывая, что , получим:

(3.6.14)

При х = 0 эта формула переходит в (3.6.11) для индукции магнитного поля в центре кругового тока.

3.6.3. Магнитное поле в веществе

Если несущие ток проводники находятся в какой-либо среде, магнитное поле заметно изменится. Это объясняется тем, что любое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле ´, которое складывается с полем, обусловленным токами 0. Оба поля в сумме дают результирующее усредненное (макроскопическое) поле в среде:

(3.6.15)

Для объяснения явления намагничивания тел Ампер предположил, что в атомах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего их результирующее магнитное поле равно нулю. Под действием поля магнитные моменты атомов приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается. — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Возникает поле ´.

Намагниченность вещества характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагниченности . В общем случае имеем:

(3.6.16)

где ΔV — физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, — магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме ΔV.

Найдем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность:

(3.6.17)

Опыт показывает, что линии магнитного поля, в отличие от линий напряженности электрического поля, всегда замкнуты. Поэтому интеграл в (3.6.17) должен быть равен нулю, поскольку каждая из линий магнитной индукции пересекает замкнутую поверхность четное число раз — входит в поверхность столько же раз, сколько и выходит. Следовательно, выполняется:

(3.6.18)

Это равенство выражает теорему Гаусса для вектора магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю .

Для описания магнитных свойств магнетиков удобно использовать вспомогательную величину — напряженность магнитного поля :

(3.6.19)

Единица измерения в СИ — 1 А/м. Величина напряженности магнитного поля зависит только от суммы макроскопических токов и не зависит от молекулярных токов. В свою очередь, намагниченность зависит только от суммы молекулярных токов. Как показывает опыт, намагниченность пропорциональна величине напряженности магнитного поля:

(3.6.20)

где χ — материальная характеристика способности тел намагничиваться, называемая магнитной восприимчивостью .

Подставляя (3.6.20) в (3.6.19), получим:

(3.6.21)

где μ = 1 + χ — магнитная проницаемость вещества.

Из (3.6.21) получается простое соотношение:

(3.6.22)

которое называют материальным уравнением магнитостатики.

Для вакуума χ = 0, μ = 1, и уравнение (3.6.22) будет иметь вид:

(3.6.23)

Как в уравнении (3.6.22), так и в уравнении (3.6.23) поле имеет смысл внешнего магнитного поля. Перепишем (3.6.19) в виде:

(3.6.24)

Сравнивая (3.6.24) с (3.6.15), с учетом (3.6.23) имеем:

(3.6.25)

Подставляя (3.6.23) в (3.6.21), имеем:

(3.6.26)

Отсюда следует важный вывод: относительная магнитная проницаемость показывает, во сколько раз усиливается магнитное поле в магнетике по сравнению с вакуумом.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

📹 Видео

Урок 271. Модуль вектора магнитной индукции. Закон АмпераСкачать

Урок 271. Модуль вектора магнитной индукции. Закон Ампера

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Урок 281. Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило ЛенцаСкачать

Урок 281. Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ сила Ампера правило левой рукиСкачать

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ сила Ампера правило левой руки

Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??Скачать

Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??

Магнитное поле. Магнитная индукция | Физика 11 класс #1 | ИнфоурокСкачать

Магнитное поле. Магнитная индукция | Физика 11 класс #1 | Инфоурок

Урок 270. Магнитное поле и его характеристикиСкачать

Урок 270. Магнитное поле и его характеристики

14. Вектор магнитной индукции. Правило правого винта.Скачать

14. Вектор магнитной индукции. Правило правого винта.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Магнитный поток.Скачать

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Магнитный поток.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 11 класс физика сила Ампера сила ЛоренцаСкачать

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 11 класс физика сила Ампера сила Лоренца

Магнитное поле. Вектор магнитной индукцииСкачать

Магнитное поле. Вектор магнитной индукции

Направление вектора магнитной индукции. Правило буравчикаСкачать

Направление вектора магнитной индукции. Правило буравчика

Электродинамика | теорема о циркуляции магнитной индукции | 1Скачать

Электродинамика | теорема о циркуляции магнитной индукции | 1

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ за 24 минуты. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ за 24 минуты. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон. Техноскул

Вектор магнитной индукции, принцип суперпозиции магнитных полейСкачать

Вектор магнитной индукции, принцип суперпозиции магнитных полей
Поделиться или сохранить к себе: