Сколько точек пересечения прямой с окружностью (7 видео)

Пересечение прямой с окружностью это

Содержание

Пересечение окружности и прямой.Координаты.
Пересечение окружности и прямой
Решение
Реализация
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Пересечение окружности и прямой
Решение
Реализация
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
💡 Видео

Видео:Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

Элементы окружности или координаты

x^2+y^2+ x+ y+ =0

Элементы прямой линии

Уравнение окружности

Уравнение прямой к угловым коэффициентом

Координаты пересечения окружности и прямой

Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.

Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.

А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x₀,y₀). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x₀, y₀) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x₀,y₀). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x₀, y₀) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x₀, y₀), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x₀,y₀) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

57. Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой
можно провести окружность и притом только одну.
Иначе говоря, окружность определяется тремя точками, не
лежащими на одной прямой.
Пусть, в самом деле, А, В, С (черт. 58) — три точки, не лежащие
на одной прямой линии. Мы уже доказали (п. 52), что перпендикуляры

восставленные в серединах отрезков
ВС, СА и АВ, проходят через одну
и ту же точку О, равноудалённую от точек
А, В и С. Окружность, описанная из
точки О, как из центра, радиусом О А, проходит
через три данные точки. Эта окружность—
единственная окружность, удовлетворяющая
поставленному условию, так как
центр окружности, которая пройдёт через
точки А, В и С, должен обязательно принадлежать трём перпендикулярам,
о которых мы говорили.
Следствие. Мы видим, что окружность не может иметь двух
различных центров, а следовательно, не может иметь и двух неравных
радиусов.
58. Теорема. Прямая не может пересекать окружность
более чем в двух точках.
Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, прямая
не пересекает окружности. Если это расстояние меньше радиуса,
Р /1 И В Р’ прямая пересекает окружность
п двух точках.Наконец, если расстояние
равно радиусу, прямая имеет
с окружностью одну общую точку.
В последнем случае прямая назы-
q вается касательной к окружности.
Пусть дана окружность с центром
О и прямая D. Из центра О
(черт. 59) опустим на прямую D перпендикуляр ОН.
1°. Окружность не может иметь более двух общих точек с прямой
D. Это сводится к тому, что из точки О нельзя провести
к прямой D более двух наклонных, равных радиусу R (п. 30, следствие).

67 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

2°. Если расстояние ОН больше радиуса, то расстояние от центра
любой точки прямой и подавно (п. 29) будет больше радиуса;
следовательно, все точки прямой являются внешними по отношению
к кругу.
3°. Если, напротив, ОН меньше радиуса, точка Я находится внутри
окружности, но по обе стороны от Н есть точки, расположенные
вне окружности. Чтобы в этом убедиться, отложим на прямой D от
точки Н два отрезка HP и HP, равные радиусу; расстояния ОР
и ОР будут непременно больше радиуса. Следовательно,
будем иметь две точки пересечения
с окружностью: одну между Н и Р и другую —
между Н и Р это будут единственные точки
пересечения (1°).
4°. Если, наконец, ОН равно радиусу
(черт. 60), то точка Н будет общей точкой
прямой и окружности, но, так же как в 2°,
убедимся, что всякая другая точка прямой
находится вне окружности.

Следствие. Через точку, взятую на
окружности, можно провести к ней касательную
и только одну, причём эта касательная перпендикулярна
к радиусу, проведённому в эту точку.
59. Предыдущее определение касательной не годится в качестве
определения касательной к произвольной кривой.
Касательной к какой-либо кривой в точке М этой кривой (черт. 61)
называется предельное положение, к которому стремится прямая ММ
когда точка М описывая кривую, безгранично
приближается к М. Иначе
говоря:

Прямая МТназывается касательной
в точке Му если для всякого данного
угла е можно выбрать по обе стороны
от точки М две дуги ММХ и ММ2 такие,
чтобы для всякого положения точки
М взятой на одной из этих дуг, прямая ММ’ образовала бы
с прямой МТ или с её продолжением угол, меньший е *).
Покажем, что для случая окружности это определение сводится
к тому, которое мы дали выше.
Проведём в точке М окружности О перпендикуляр МТ к радиусу
ОМ и на хорду ММГ (черт. 62) опустим из центра перпендикуляр ОН.
Эта прямая является высотой равнобедренного треугольника ОММг
и в то же время биссектрисой угла при О. Угол ТММГ равен углу
МОН (как углы с перпендикулярными сторонами) и, следовательно, —
половине угла МОМ!. Но этот последний можно сделать меньше вся-
*) Можно доказать, как это вообще доказывается в теории пределов,
что если такая прямая существует, то она единственная,

68 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

кого данного угла, если выбрать точку М! достаточно близко
к точке М.
60. Нормалью к кривой в данной точке называется перпендикуляр
к касательной в этой точке. Следовательно, нормаль к окружности
в данной точке есть не что иное,
как радиус, проведённый в эту
точку.

На любой данной окружности имеются две (и только две) такие
точки, что нормали в этих точках проходят через данную точку Р
плоскости (отличную от центра): этими точками будут концы диаметра,
проходящего через точку Р.
60а. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения
называется угол, образованный их касательными в этой точке (черт. 63).
Следовательно, угол между двумя пересекающимися окружностями
равен углу между радиусами, проведёнными в их общую точку, или
углу, ему пополнительному.
УПРАЖНЕНИЯ.
47. Из всех точек окружности проведены отрезки, равные и параллельные
одному и тому же данному отрезку.
Найти геометрическое место концов этих отрезков.
48. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную
точку с различными точками окружности.
49. АВ — диаметр окружности О, С — точка, взятая на продолжении
этого диаметра за точку В, CDE— секущая из точки С, которая пересёкает
окружность в точках D и Е. Если внешняя часть CD равна радиусу, то
угол ЕОА в три раза больше угла DOB (доказать).