Гомотетия — это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу
где k — постоянное, отличное от нуля число, O — фиксированная точка.
Точка O называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.
гомотетия с коэффициентом k>0
Чтобы построить четырёхугольник, гомотетичный 4-угольнику ABCD с центром гомотетии в точке O и коэффициентом k, k>0, нужно провести лучи с началом в точке O, проходящие через вершины A, B, C, D, отложить на них отрезки соответствующей длины:
и соединить вершины A1, B1, C1и D1 отрезками.
При k
и соединить вершины A1, B1, C1 отрезками.
При гомотетии с коэффициентом k=1 каждая точка переводится сама в себя.
При k= -1 гомотетия является симметрией относительно центра O (то есть центральная симметрия является частным случаем гомотетии).
Гомотетия есть преобразование подобия. Следовательно, гомотетия обладает свойствами подобия.
Свойства преобразования гомотетии
1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые- в полупрямые, отрезки — в отрезки, углы — в углы.
2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых).
Стороны гомотетичных фигур пропорциональны. а углы — равны.
Свойства, типы и примеры гомотетии
homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ‘, являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.
Тогда гомотетия — это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..
- 1 гомотеция
- 2 свойства
- 3 типа
- 3.1 Прямая гомотетия
- 3.2 Обратная гомотетия
- 4 Композиция
- 5 примеров
- 5.1 Первый пример
- 5.2 Второй пример
- 6 Ссылки
homotecia
Гомотетия — это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.
Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..
Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:
Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..
С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..
свойства
Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:
— Центр гомотетии (O) — единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.
— Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.
— Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.
— Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A’B ‘, так что AB будет параллельным A’B’, а k будет:
— Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла — это угол, имеющий одинаковую амплитуду..
С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:
— Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.
— Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).
— Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180 или .
— Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.
— Да 0 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:
Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.
Преобразование подобия
Преобразование подобия — это преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A’, B’ имеет место соотношение | A’B’ | = k | AB | , где k — положительное число, называемое коэффициентом подобия.
Содержание:
Гомотетия и ее свойства
Пусть дан многоугольник ABCD (рис. 2.439).
1. Возьмем произвольную точку О.
2. Построим векторы 
и т. д.
3. Многоугольник 
будет подобным многоугольнику 
(рис. 2.439).
В этом построении использовалось требование, при котором точка X переходит в такую точку 
, что 
а точка о переходит в себя.
Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к новому виду преобразований, которое называют гомотетией.
Определение. Гомотетией с центром O и коэффициентом 
называют преобразование, при котором каждая точка X переходит в точку 
, такую, что 
Если при гомотетии фигура 
переходит в фигуру 
, то эти фигуры называют гомотетичными.
Если k = 1, то каждая точка X перейдет сама в себя.
Если k > 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра гомотетии (рис. 2.440, 2.441).
Если k 0 (рис. 2.440), то точки X и 
лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии (так, векторы 
сонаправлены).
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.