Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Высота правильного треугольника равна 126. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высотыПо теореме синусов имеем:

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Приведём другое решение.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен двум третьим высоты. Поэтому он равен 2.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высотыНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольника

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

  • BD – высота, опущенная на сторону AC;
  • BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
  • BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
  • BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 2 3 высоты

a – сторона треугольника.

Видео:Равнобедренный треугольникСкачать

Равнобедренный треугольник

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

💡 Видео

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать

2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

2050 высота правильного треугольника равна 90 найдите радиус окружностиСкачать

2050 высота правильного треугольника равна 90 найдите радиус окружности

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

2053 радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 56Скачать

2053 радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 56

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около  равностороннего   треугольника. Задача 2

Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: