Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через данную точку не принадлежащей плоскости?

Математика | 10 — 11 классы

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через данную точку не принадлежащей плоскости?

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Через данную точку не принадлежащей плоскости можно провести бесконечное число прямых, параллельных плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Содержание
  1. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой?
  2. Cколько плоскостей может проходить через 3 данные точки?
  3. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой?
  4. Дана прямая, параллельная некоторой плоскости?
  5. Лемма о параллельных прямых, пересекающих даную плоскость?
  6. Сможете решить?
  7. На плоскости проведена прямая и отмечена точка, не лежащая на этой прямой?
  8. Укажите номер верного утверждения 1?
  9. Стереометрия, 10 класс помогите?
  10. Верны ли утверждения :1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственнаяплоскость, параллельная данной?
  11. Стереометрия. Страница 2
  12. 1. Параллельность прямых в пространстве
  13. 2.Признак параллельности прямых
  14. 3. Признак параллельности плоскостей
  15. 4. Свойства параллельных плоскостей
  16. 5. Пример 1
  17. Пример 2
  18. Пример 3
  19. Пример 4
  20. Пример 5
  21. Стереометрия — формулы, определение и вычисление с примерами решения
  22. Что такое стереометрия
  23. Аксиомы стереометрии
  24. Пример №1
  25. Следствия из аксиом стереометрии
  26. Пример №2
  27. Пример №3
  28. Пример №4
  29. Пример №5
  30. Сечения
  31. Пример №6
  32. Пример №7
  33. Пример №8
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Пример №11
  37. Пример №12
  38. 💥 Видео

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Даны три точки, не принадлежащие одной прямой?

Даны три точки, не принадлежащие одной прямой.

Докажите, что все прямые, пересекающие два из трёх отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Cколько плоскостей может проходить через 3 данные точки?

Cколько плоскостей может проходить через 3 данные точки?

При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей ?

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямыхСкачать

№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых

Даны три точки, не принадлежащие одной прямой?

Даны три точки, не принадлежащие одной прямой.

Докажите, что все прямые, пересекающие два из трех отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через

Дана прямая, параллельная некоторой плоскости?

Дана прямая, параллельная некоторой плоскости.

Докажите что через любую точку этой плоскости проходит прямая, параллельная данной прямой.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Лемма о параллельных прямых, пересекающих даную плоскость?

Лемма о параллельных прямых, пересекающих даную плоскость.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Сможете решить?

Нет? нужно описание?

* через всякую ли прямую можно провести плоскость параллельную данной плоскости?

(ответ : нет) нужно описание и чертеж!

Отмечу как лучший сразу!

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

На плоскости проведена прямая и отмечена точка, не лежащая на этой прямой?

На плоскости проведена прямая и отмечена точка, не лежащая на этой прямой.

Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через эту точку?

Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой?

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Укажите номер верного утверждения 1?

Укажите номер верного утверждения 1.

Существует точка плоскости, не лежащая на данной прямой, через которую нельзя провести на плоскости ни одной прямой, параллельной данной 2.

Через любые две различные точки плоскости можно провести прямую.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

Стереометрия, 10 класс помогите?

Стереометрия, 10 класс помогите!

Из данных утверждений выберите верное : а) через точку, не принадлежащую двум данным плоскостям, можно провести прямую им параллельную ; б) через любую точку пространства проходит прямая параллельная данной плоскости и притом только одна ; в) если одна из двух параллельных плоскостей параллельна прямой, то и другая параллельная той же прямой ; г) утверждения а — в не верны.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Верны ли утверждения :1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственнаяплоскость, параллельная данной?

Верны ли утверждения :

1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная

плоскость, параллельная данной.

2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны

двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и

проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся

прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости,

параллельны между собой.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях  и  (рис.

2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD?

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через данную точку не принадлежащей плоскости?. Вопрос соответствует категории Математика и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Стереометрия. Страница 2

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

1. Параллельность прямых в пространстве

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)

Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

5. Пример 1

Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.

Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.

Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.

А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.

Пример 2

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.

Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.

Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.

Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Пример 3

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).

Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины — это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Пример 4

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.

Прямая b — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и γ. Прямая с — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и β. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.

Прямая а — это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям β и γ. Допустим, что она пересекает плоскость α. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости α.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 5

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.

Доказательство:

Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.

Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.

Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.

Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.

Видео:№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.Скачать

№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.

Стереометрия — формулы, определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Стереометрия:

Напомним, что геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур, которая состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрию — раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, вы изучили. В модуле 1 систематизированы и обобщены факты и свойства таких фигур.

Видео:10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиом

Что такое стереометрия

Стереометрия — это раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве -изучают в старших классах.

Схематически это выглядит так:

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 изображены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Напомним структуру логического построения планиметрии:

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Поскольку стереометрия также является составляющей геометрии, то строится она по тому же принципу. Некоторые понятия принимаются как основные (простейшие, неопределяемые). Для них формулируются основные свойства — аксиомы, а далее рассматриваются другие, определяемые, понятия и их свойства.

Все фигуры, которые рассматривались на плоскости, можно рассматривать и в пространстве. Поэтому основные фигуры (понятия) планиметрии — точка и прямая — автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Описываются они так же. В пространстве рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски или поверхность листа бумаги, которые продолжены во все стороны до бесконечности. Плоскость также понимают как множество точек.
На базе основных понятий определяются другие основные определяемые понятия: расстояние между точками, отрезок, луч, треугольник и т.д.
Прямая — подмножество точек плоскости, отрезок — подмножество точек прямой. Некоторые подмножества точек плоскости являются плоским треугольником, четырехугольником и т.д., а некоторые — неплоскими фигурами. Пространство состоит из бесконечного множества точек.
Итак, основными фигурами (понятиями) в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Эти понятия называют неопределяемыми. Каждая пространственная геометрическая фигура состоит из множества точек. Рассмотрим куб на рисунке 2.2.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

У него 8 вершин (точки), 12 ребер (части прямых) и 6 граней (части плоскостей). Гранями куба являются квадраты — фигуры планиметрии.

В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома I, в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства.

Аксиомы стереометрии

Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Приведем эти уточнения.

  • Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
  • Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. От любой полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
  • Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, который равен ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
  • Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой,. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

  1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, непринадлежащие ей (рис. 2.3, а).
  2. Если две различные прямые имеют общую точку, то че рез них можно провести плоскость, и притом только одну (рис. 2.3, б).
  3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.3, в).

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат.

Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку.

Эти три аксиомы дополняют пять групп аксиом планиметрии и вместе с ними образуют аксиоматику стереометрии. Аксиому 1 стереометрии отнесем к группе аксиом принадлежности (обозначим I3), а аксиомы 2 и 3 — к группе аксиом взаимного расположения (соответственно обозначим II3, II4).

Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита — Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойточки — большими буквами латинского алфавита — Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпрямые — малыми буквами латинского алфавита — Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойили двумя прописными буквами латинского алфавита — Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Для кратких записей утверждений используют символы — Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежит, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— не принадлежит, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— подмножество и т.д. Краткие записи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей:

  1. Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежит прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежит на прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроходит через точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Обозначение: Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  2. Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне принадлежит прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне лежит на прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне проходит через точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Обозначение: Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  3. Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежит плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежит на плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроходит через точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Обозначение: Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  4. Прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежит плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежит на плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроходит через прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Обозначение: Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

  • I3. Существуют точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  • II3. Если Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— единственная.
  • II4. Если Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи и Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, причем Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур.
Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пример №1

Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне пересекаются.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпересекаются (рис. 2.5).

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Тогда, по аксиоме II3, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойтакже принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне пересекаются, что и требовалось доказать.
Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

Следствия из аксиом стереометрии

Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид:

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пусть Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— данная прямая и Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроведем прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойразличны и пересекаются в точке Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. По аксиоме II3 через них можно провести плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Докажем, что она единственная, методом от противного.

Допустим, что существует другая плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которая содержит прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Тогда, согласно аксиоме II4, плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойчто противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— единственная. Теорема доказана.

Теорема 2
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пусть заданы прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи точки А и В прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, принадлежащие Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Через точку С и прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроведем плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Если Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойсовпадут, то прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежит плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Если же плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойразличны и имеют две общие точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то они пересекаются по прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, содержащей эти точки. Поэтому через две точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроходят две прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, что противоречит аксиоме принадлежности I2. Поэтому Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— совпадают. Однако поскольку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, принадлежит плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то и прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойтакже принадлежит Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Теорема 3

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пусть Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпрямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, а через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойразличны и имеют общую точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Через них можно провести плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, содержащая точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Тогда, по теореме 2, прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежат плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Поэтому плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойимеют две общие прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которые пересекаются, что противоречит аксиоме II3. Итак, плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— единственная. Теорема доказана.

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойто в таком случае пользуются обозначением: (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Читается: «плоскость, заданная точками Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой», или сокращенно «плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой».

Если грань многогранника — четырехугольник, например Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то выбирают запись плоскости произвольной тройкой его вершин. Например, (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой), (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) или (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Однако иногда в записи плоскости оставляют все четыре вершины, например (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой).

Пример №2

Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости?

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Через прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.12), которые имеют общую точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, можно провести плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Возьмем точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которая не принадлежит Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпроведем прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне лежит на плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, так как если бы прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежала плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, то и точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежала бы плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Поэтому через точку пересечения прямых Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойможно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно.

Почему именно так?

Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать.

Пример №3

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Поскольку прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпараллельны, то по определению эти прямые лежат в одной плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.13). Произвольная прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, пересекающая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, имеет с плоскостью Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойдве общие точки — точки пересечения. Согласно теореме 2, эта прямая принадлежит плоскости Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Следовательно, все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пример №4

Докажите, что если прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне лежат в одной плоскости, то прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойтакже не лежат в одной плоскости.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойСколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпринадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать.

Почему именно так?

При доказательстве принадлежности или непринадлежности часто используют метод доказательства от противного. В этом случае он сразу выводит на противоречия, а значит — доказывает требование задачи.

Пример №5

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей.
Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.

Ответ. Бесконечно много или одна.

Почему именно так?

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество.
Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечения

Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением.

С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур.

Мы будем рассматривать сечения трех пространственных фигур: пирамиды, куба и прямоугольного параллелепипеда (их относят к многогранникам; с понятием многогранника вы ознакомитесь позднее). Для введения понятия сечения геометрической фигуры напомним понятие об отрезке, пересекающем или не пересекающем прямую: если в заданной плоскости концы отрезка лежат в различных полуплоскостях относительно заданной прямой, то отрезок пересекает прямую, если же в одной, — то нет. Аналогией такой ситуации в пространстве является плоскость и отрезок, т.е. их взаимное расположение.

Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в).

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то говорят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры лежат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей.

Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической фигуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Сечение задают условием задачи. В зависимости от этих условий и выполняют построение сечения. Учитывая изученное, мы будем решать задачи, в которых сечение задается тремя точками или прямой и точкой вне ее. Почти во всем курсе стереометрии нам придется работать с разными сечениями.
Существуют различные методы построения сечений. Наиболее распространенный в практике изучения курса геометрии средней школы — метод следов. Рассмотрим его.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей.
Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

  • через две точки, принадлежащие плоскости, проходит только одна прямая, и эта прямая также принадлежит этой плоскости;
  • чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, которые принадлежат обеим плоскостям, и через них провести линию пересечения;
  • при построении сечений многогранников секущей плоскостью нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекается с гранями многогранника.

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Пример №6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.

Построение

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пусть Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, являющуюся общей для трех ребер Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Обозначим на этих ребрах точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойсоответственно, являющиеся их серединами. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойне лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— общие точки плоскости сечения и грани Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, поэтому Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойСколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— сторона сечения.
Аналогично Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, поэтому Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— две другие стороны сечения. Таким образом, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение.

Пример №7

Постройте сечение пирамиды Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойплоскостью, которая проходит через ребро Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи середину ребра Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Построение

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Плоскость сечения задается прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи серединой ребра Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(обозначим ее точкой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) (рис. 2.23). (МАК) — плоскость сечения. Найдем прямые пересечения
этой плоскости с плоскостями (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) и (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Ими будут соответствующие прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, а Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, образованный пересечением прямых Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, — искомое сечение.

Пример №8

Постройте сечение пирамиды Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойплоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Построение

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

Пусть Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— секущая плоскость, проходящая через заданные точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Построим сечение, выполняя последовательно шаги:

  1. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, тогда Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  2. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, тогда Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.24, а). Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— общая точка двух плоскостей (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) и (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Такие плоскости (по аксиоме II4) пересекаются по прямой, проходящей через точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) и (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) пересекаются по прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпо условию не параллельна Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, поэтому Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.24, б).
4. Прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— линия пересечения плоскостей (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) и (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Пересечение этой прямой с ребром Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойдает точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение (рис. 2.24, в).

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Пример №9

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойплоскостью, проходящей через середины Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойребер Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпересечения диагоналей грани (рис. 2.25, а).

Построение

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Обозначим секущую плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения.

  1. Найдем точку пересечения прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойс плоскостью (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Эта прямая лежит в плоскости (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой), пересекающейся с плоскостью (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) по прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— точка пересечения прямых Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомая (рис. 2.25, б).
  2. Аналогично находим точку Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойкак точку пересечения прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойс плоскостью (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой). Точка Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомая.
  3. Плоскость а пересекает плоскость (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) по прямойСколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, а плоскость (Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) — по прямой Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Прямые Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпересекают ребра прямоугольного параллелепипеда Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойв точках Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойсоответственно (рис. 2.25, в).
  4. Прямая Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойпересекает ребро прямоугольного параллелепипеда Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойв некоторой точке Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— последней вершине сечения (рис. 2.25, в).

Таким образом, пятиугольник Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение (рис. 2.25, г).
Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Пример №10

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которые принадлежат соответственно ребрам Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Построение

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Секущая плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой) (рис. 2.26).

  1. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Проведем прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  2. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой. Проведем прямую Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  3. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  4. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение.

Пример №11

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Т, которые принадлежат соответственно ребрам Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Секущая плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.27).

  1. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  2. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  3. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  4. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение.

Пример №12

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, которые принадлежат соответственно ребрам Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой,Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.

Построение

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Секущая плоскость Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой(рис. 2.28).

  1. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  2. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  3. Точки Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойи Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямойлежат в Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой, Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой.
  4. Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой— искомое сечение.
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2
Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой
Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
5.Примеры.
1 2 3 4 5 6 7 8
Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой
Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

2.Признак параллельности прямых

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2)

Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с — прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис.2 Признак параллельности прямых

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

3. Признак параллельности плоскостей

Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая b параллельна b 1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а 1 . Т.к. прямые а и а 1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е 1 . Проведем через две параллельные прямые а и а 1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е 1 , которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что:

а ∈ α, γ.
а 1 ∈ β, γ.
с ∈ α, β,γ

т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис. 3 Признак параллельности плоскостей.

Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны.

Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

4. Свойства параллельных плоскостей

Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b.

Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а — это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой

Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.

Сколько прямых параллельных данной плоскости можно провести через точку не принадлежащую этой прямой
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Пирамида в геометрии
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия — формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрия
Поделиться или сохранить к себе: