Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Содержание
  1. Окружности вписанные в окружность калькулятор
  2. Радиус вписанной и описанной окружности
  3. Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R
  4. Квадрат. Онлайн калькулятор
  5. Свойства квадрата
  6. Диагональ квадрата
  7. Окружность, вписанная в квадрат
  8. Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
  9. Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
  10. Окружность, описанная около квадрата
  11. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
  12. Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
  13. Периметр квадрата
  14. Признаки квадрата
  15. Прямоугольник. Онлайн калькулятор
  16. Свойства прямоугольника
  17. Диагональ прямоугольника
  18. Окружность, описанная около прямоугольника
  19. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  20. Периметр прямоугольника
  21. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  22. Признаки прямоугольника

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Окружности вписанные в окружность калькулятор

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Радиус вписанной и описанной окружности

В немногие из многоугольников можно вписать окружность. Окружность будет называться вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом, поскольку каждая сторона является касательной к окружности, то из свойств последней следует, что она находится под прямым углом к радиусу вписанной окружности. Радиусы, проведенные к сторонам многоугольника из центра окружности, имеют первостепенное значение, так как они фигурируют во многих расчетах по данным фигурам, в том числе и без окружности, как таковой. Центр окружности, вписанной в многоугольник, можно найти, проведя две биссектрисы из любых углов, точка их пересечения и будет искомым центром. Для того чтобы различать в формулах радиусы вписанной и описанной окружностей их обозначают r и R соответственно длине.

Вокруг определенных геометрических фигур можно описать окружность. Если для каждой стороны провести срединный перпендикуляр, или медиатрису, то точка их пересечений (достаточно двух) будет центром описанной вокруг фигуры окружности. Такая окружность содержит все вершины углов многоугольника. Радиусы, соединяющие центр окружности с вершинами многоугольника, участвуют во многих вычислениях и решениях типовых задач на нахождение сторон, площадей и других параметров данных фигур. Радиусы описанных окружностей обозначаются R , а радиусы вписанных окружностей – r , для различия.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать

Как вписать квадрат в окружность

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математике

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(5)

Из формулы (5) найдем R:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор, получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (8), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(9)

где Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (9), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(13)

Из (13) следует, что

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:Градусы. Перевод значения угла в градусах, минутах и секундах в десятичное значение и наоборотСкачать

Градусы. Перевод значения угла в градусах, минутах и секундах в десятичное значение и наоборот

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (2), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:ОГЭ математика 2024 Ященко вариант 12. Полный разбор.Скачать

ОГЭ математика 2024 Ященко вариант 12. Полный разбор.

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (4), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (5), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(6)
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(8)
Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторСколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор, а периметр равен Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор, Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв (11):

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Подставляя значения Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятори Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв первую формулу (12), получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятори Сколько окружностей можно вписать в окружность калькуляторв формулу, получим:

Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Ответ: Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор, Сколько окружностей можно вписать в окружность калькулятор

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Поделиться или сохранить к себе: