Решение простейших тригонометрических уравнений
Градусы и радианы
Знакомство с тригонометрической окружностью
Повороты на тригонометрической окружности
Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».
Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .
1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов
Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.
Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!
О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.
А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.
Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.
На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:
Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.
А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.
Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.
Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).
А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):
От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).
Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).
Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!
Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!
Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.
А теперь у тебя есть два пути:
Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:
А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.
Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.
Видео:Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать
Сразу попробуем разобрать на примере:
1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.
2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.
Дело за малым — найти эти углы.
Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.
Или запомнить такой прием:
Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).
Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.
cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.
При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).
Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).
И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:
Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.
То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.
Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.
И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)
Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.
Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.
Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.
Пример №2. 2sinx = √2
Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2
1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.
2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.
Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.
И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.
Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.
Пример №3. tg(x + π/4) = √3
Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать
Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.
tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.
1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.
2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.
По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.
3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.
4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.
Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.
Теперь корни на окружности будут здесь:
Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).
Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.
Пример №4: −10ctg(x) = 10
Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.
Видео:простейшие уравнения с sinx: 1)sinx=√2/2; 2)sinx=-√3/2Скачать
1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.
2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).
Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.
Не забываем добавить к каждой точке 2πk.
Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :
- Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
- Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
- Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
- Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.
Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.
Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов
СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.
α (радианы) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | √3π/2 | 2π |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
α (градусы) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
SIN α (СИНУС) | 0 | 1/2 | √ 2/2 | √3 /2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
Угол в градусах | Sin (Синус) |
---|---|
0° | 0 |
1° | 0.0175 |
2° | 0.0349 |
3° | 0.0523 |
4° | 0.0698 |
5° | 0.0872 |
6° | 0.1045 |
7° | 0.1219 |
8° | 0.1392 |
9° | 0.1564 |
10° | 0.1736 |
11° | 0.1908 |
12° | 0.2079 |
13° | 0.225 |
14° | 0.2419 |
15° | 0.2588 |
16° | 0.2756 |
17° | 0.2924 |
18° | 0.309 |
19° | 0.3256 |
20° | 0.342 |
21° | 0.3584 |
22° | 0.3746 |
23° | 0.3907 |
24° | 0.4067 |
25° | 0.4226 |
26° | 0.4384 |
27° | 0.454 |
28° | 0.4695 |
29° | 0.4848 |
30° | 0.5 |
31° | 0.515 |
32° | 0.5299 |
33° | 0.5446 |
34° | 0.5592 |
35° | 0.5736 |
36° | 0.5878 |
37° | 0.6018 |
38° | 0.6157 |
39° | 0.6293 |
40° | 0.6428 |
41° | 0.6561 |
42° | 0.6691 |
43° | 0.682 |
44° | 0.6947 |
45° | 0.7071 |
46° | 0.7193 |
47° | 0.7314 |
48° | 0.7431 |
49° | 0.7547 |
50° | 0.766 |
51° | 0.7771 |
52° | 0.788 |
53° | 0.7986 |
54° | 0.809 |
55° | 0.8192 |
56° | 0.829 |
57° | 0.8387 |
58° | 0.848 |
59° | 0.8572 |
60° | 0.866 |
61° | 0.8746 |
62° | 0.8829 |
63° | 0.891 |
64° | 0.8988 |
65° | 0.9063 |
66° | 0.9135 |
67° | 0.9205 |
68° | 0.9272 |
69° | 0.9336 |
70° | 0.9397 |
71° | 0.9455 |
72° | 0.9511 |
73° | 0.9563 |
74° | 0.9613 |
75° | 0.9659 |
76° | 0.9703 |
77° | 0.9744 |
78° | 0.9781 |
79° | 0.9816 |
80° | 0.9848 |
81° | 0.9877 |
82° | 0.9903 |
83° | 0.9925 |
84° | 0.9945 |
85° | 0.9962 |
86° | 0.9976 |
87° | 0.9986 |
88° | 0.9994 |
89° | 0.9998 |
90° | 1 |
Угол в градусах | Sin (Синус) |
---|---|
91° | 0.9998 |
92° | 0.9994 |
93° | 0.9986 |
94° | 0.9976 |
95° | 0.9962 |
96° | 0.9945 |
97° | 0.9925 |
98° | 0.9903 |
99° | 0.9877 |
100° | 0.9848 |
101° | 0.9816 |
102° | 0.9781 |
103° | 0.9744 |
104° | 0.9703 |
105° | 0.9659 |
106° | 0.9613 |
107° | 0.9563 |
108° | 0.9511 |
109° | 0.9455 |
110° | 0.9397 |
111° | 0.9336 |
112° | 0.9272 |
113° | 0.9205 |
114° | 0.9135 |
115° | 0.9063 |
116° | 0.8988 |
117° | 0.891 |
118° | 0.8829 |
119° | 0.8746 |
120° | 0.866 |
121° | 0.8572 |
122° | 0.848 |
123° | 0.8387 |
124° | 0.829 |
125° | 0.8192 |
126° | 0.809 |
127° | 0.7986 |
128° | 0.788 |
129° | 0.7771 |
130° | 0.766 |
131° | 0.7547 |
132° | 0.7431 |
133° | 0.7314 |
134° | 0.7193 |
135° | 0.7071 |
136° | 0.6947 |
137° | 0.682 |
138° | 0.6691 |
139° | 0.6561 |
140° | 0.6428 |
141° | 0.6293 |
142° | 0.6157 |
143° | 0.6018 |
144° | 0.5878 |
145° | 0.5736 |
146° | 0.5592 |
147° | 0.5446 |
148° | 0.5299 |
149° | 0.515 |
150° | 0.5 |
151° | 0.4848 |
152° | 0.4695 |
153° | 0.454 |
154° | 0.4384 |
155° | 0.4226 |
156° | 0.4067 |
157° | 0.3907 |
158° | 0.3746 |
159° | 0.3584 |
160° | 0.342 |
161° | 0.3256 |
162° | 0.309 |
163° | 0.2924 |
164° | 0.2756 |
165° | 0.2588 |
166° | 0.2419 |
167° | 0.225 |
168° | 0.2079 |
169° | 0.1908 |
170° | 0.1736 |
171° | 0.1564 |
172° | 0.1392 |
173° | 0.1219 |
174° | 0.1045 |
175° | 0.0872 |
176° | 0.0698 |
177° | 0.0523 |
178° | 0.0349 |
179° | 0.0175 |
180° | 0 |
Угол | Sin (Синус) |
---|---|
181° | -0.0175 |
182° | -0.0349 |
183° | -0.0523 |
184° | -0.0698 |
185° | -0.0872 |
186° | -0.1045 |
187° | -0.1219 |
188° | -0.1392 |
189° | -0.1564 |
190° | -0.1736 |
191° | -0.1908 |
192° | -0.2079 |
193° | -0.225 |
194° | -0.2419 |
195° | -0.2588 |
196° | -0.2756 |
197° | -0.2924 |
198° | -0.309 |
199° | -0.3256 |
200° | -0.342 |
201° | -0.3584 |
202° | -0.3746 |
203° | -0.3907 |
204° | -0.4067 |
205° | -0.4226 |
206° | -0.4384 |
207° | -0.454 |
208° | -0.4695 |
209° | -0.4848 |
210° | -0.5 |
211° | -0.515 |
212° | -0.5299 |
213° | -0.5446 |
214° | -0.5592 |
215° | -0.5736 |
216° | -0.5878 |
217° | -0.6018 |
218° | -0.6157 |
219° | -0.6293 |
220° | -0.6428 |
221° | -0.6561 |
222° | -0.6691 |
223° | -0.682 |
224° | -0.6947 |
225° | -0.7071 |
226° | -0.7193 |
227° | -0.7314 |
228° | -0.7431 |
229° | -0.7547 |
230° | -0.766 |
231° | -0.7771 |
232° | -0.788 |
233° | -0.7986 |
234° | -0.809 |
235° | -0.8192 |
236° | -0.829 |
237° | -0.8387 |
238° | -0.848 |
239° | -0.8572 |
240° | -0.866 |
241° | -0.8746 |
242° | -0.8829 |
243° | -0.891 |
244° | -0.8988 |
245° | -0.9063 |
246° | -0.9135 |
247° | -0.9205 |
248° | -0.9272 |
249° | -0.9336 |
250° | -0.9397 |
251° | -0.9455 |
252° | -0.9511 |
253° | -0.9563 |
254° | -0.9613 |
255° | -0.9659 |
256° | -0.9703 |
257° | -0.9744 |
258° | -0.9781 |
259° | -0.9816 |
260° | -0.9848 |
261° | -0.9877 |
262° | -0.9903 |
263° | -0.9925 |
264° | -0.9945 |
265° | -0.9962 |
266° | -0.9976 |
267° | -0.9986 |
268° | -0.9994 |
269° | -0.9998 |
270° | -1 |
Угол | Sin (Синус) |
---|---|
271° | -0.9998 |
272° | -0.9994 |
273° | -0.9986 |
274° | -0.9976 |
275° | -0.9962 |
276° | -0.9945 |
277° | -0.9925 |
278° | -0.9903 |
279° | -0.9877 |
280° | -0.9848 |
281° | -0.9816 |
282° | -0.9781 |
283° | -0.9744 |
284° | -0.9703 |
285° | -0.9659 |
286° | -0.9613 |
287° | -0.9563 |
288° | -0.9511 |
289° | -0.9455 |
290° | -0.9397 |
291° | -0.9336 |
292° | -0.9272 |
293° | -0.9205 |
294° | -0.9135 |
295° | -0.9063 |
296° | -0.8988 |
297° | -0.891 |
298° | -0.8829 |
299° | -0.8746 |
300° | -0.866 |
301° | -0.8572 |
302° | -0.848 |
303° | -0.8387 |
304° | -0.829 |
305° | -0.8192 |
306° | -0.809 |
307° | -0.7986 |
308° | -0.788 |
309° | -0.7771 |
310° | -0.766 |
311° | -0.7547 |
312° | -0.7431 |
313° | -0.7314 |
314° | -0.7193 |
315° | -0.7071 |
316° | -0.6947 |
317° | -0.682 |
318° | -0.6691 |
319° | -0.6561 |
320° | -0.6428 |
321° | -0.6293 |
322° | -0.6157 |
323° | -0.6018 |
324° | -0.5878 |
325° | -0.5736 |
326° | -0.5592 |
327° | -0.5446 |
328° | -0.5299 |
329° | -0.515 |
330° | -0.5 |
331° | -0.4848 |
332° | -0.4695 |
333° | -0.454 |
334° | -0.4384 |
335° | -0.4226 |
336° | -0.4067 |
337° | -0.3907 |
338° | -0.3746 |
339° | -0.3584 |
340° | -0.342 |
341° | -0.3256 |
342° | -0.309 |
343° | -0.2924 |
344° | -0.2756 |
345° | -0.2588 |
346° | -0.2419 |
347° | -0.225 |
348° | -0.2079 |
349° | -0.1908 |
350° | -0.1736 |
351° | -0.1564 |
352° | -0.1392 |
353° | -0.1219 |
354° | -0.1045 |
355° | -0.0872 |
356° | -0.0698 |
357° | -0.0523 |
358° | -0.0349 |
359° | -0.0175 |
360° | 0 |
Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.
Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».
Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.
Чему равен синус 45? …
— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071
📺 Видео
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Тригонометрия | sin(x) = -корень(3)/2Скачать
sin x равен корень из 3Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать
Как решать тригонометрические неравенства?Скачать
Найдите наименьший положительный корень уравнения sin pi x/3=-(корень из 3)/2 (проф. ЕГЭ задача №6)Скачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Простейшее тригонометрическое уравнение sin x = Корень из 2 /2Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
Нестандартное уравнение 2cos(sinx)-ctg10tg20ctg50Скачать
Тригонометрические уравнения 2sin(3x-П/4)=-корень из 2; корень из 3tg(x/4 +П/6)=3Скачать
Математика это не ИсламСкачать