Символическая запись теоремы если плоскость проходит через данную прямую параллельную другой (8 видео)

Геометрия. 10 класс

Содержание

Параллельность прямой и плоскости
Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Геометрия» по разделу » Параллельность прямых и плоскостей» (часть 1)
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
📺 Видео

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение параллельных прямых;
Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
лемма о двух параллельных прямых;
теорему о параллельности трех прямых;
определение параллельных прямой и плоскости;
признаком параллельности прямой и плоскости.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

М и а задают плоскость α
Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

. BC=AD= 8 см;

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельность прямой и плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный урок посвящен теме «Параллельность прямой и плоскости». На этом уроке мы обсудим параллельность прямой и плоскости как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве, рассмотрим ситуацию плоскость параллельная прямой. Сформулируем теорему и докажем ее и два утверждения, которые часто используются при решении задач на эту тему.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Геометрия» по разделу » Параллельность прямых и плоскостей» (часть 1)

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ Конспект лекций Параллельность прямых и плоскостей ч.1.docx

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

Волжский социально-педагогический колледж

Математика:Геометрия (10-11кл., 1 курс СПО)

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

«Параллельность прямых и плоскостей (часть1)»

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

Определени е . Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Доказательство : Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (следствие из аксиом).

Обозначим эту плоскость буквой α . Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а , должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а , т. е. должна лежать в плоскости α . Но в плоскости α , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а , и притом только одна . На рис. 11 эта прямая обозначена буквой b .

Итак, b — единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а . Теорема доказана.

Параллельность трех прямых

Лемма . (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема . (о параллельности трех прямых) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть а || с и b || с . Докажем, что а || b . Для этого нужно доказать, что прямые а и b : 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.

1) Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую а и точку К (рис. 14). Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость α , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость α . Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α .

2) Прямые а и b не пересекаются, так как Рис. 14 в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые ( а и b) , параллельные прямой с , что невозможно. Теорема доказана.

Параллельность прямой и плоскости

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно аксиоме А ₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит в плоскости (см. рис. 5, а);

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются (см. рис. 5, б);

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: а || α . Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода — они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка — эта линия параллельна плоскости пола (рис. 15, а). Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной.

На рисунке 15, а указанные прямые обозначены буквами а и b . Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b , параллельная прямой а , не лежащей в плоскости а, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 15, б).

Другими словами, наличие в плоскости α прямой b , параллельной прямой а , является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α . Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема . (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство: Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b , расположенные так, что прямая b лежит в плоскости α , а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 15, б). Докажем, что а || α .

Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость α , а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость α . Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α . Итак, прямая а не пересекает плоскость α , поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана.

Утверждения , которые часто используются при решении задач.

1°. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть через данную прямую а , параллельную плоскости α , проходит плоскость β , пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 16). Докажем, что b || а . Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости β ) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α , что невозможно, поскольку по условию а || α .

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

В самом деле, пусть а и b — параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α .

Тогда прямая а не пересекает плоскость α , и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость α . Поэтому прямая b либо параллельна плоскости α , либо лежит в этой плоскости.