Сформулируйте теорему об окружности описанной около правильного многоугольника кратко

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие правильного многоугольника

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой (Рис. 1).

Рисунок 1. Правильные многоугольники

Как мы знаем, сумма углов многоугольника находится по формуле$(n-2)cdot ^0$

Значит, градусная мера одного угла правильного многоугольника равняется

Теорема об описанной около правильного многоугольника окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

Существование. Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть биссектрисы углов $A_1 и A_2$ пересекаются в точке $O$. Соединим с этой точкой все остальные вершины правильного многоугольника (Рис. 2).

Рисунок 2. Описанная вокруг правильного многоугольника окружность

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O_1=angle O_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O_1$ и $O_3$ равны. Следовательно, $OA_2=OA_3$.

Аналогично доказывают другие равенства. В результате, будем иметь

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, а, значит, точка $O$ — центр описанной вокруг правильного многоугольника окружности.

Единственность. Рассмотрим три вершины многоугольника. Очевидно, что через них проходит только одна окружность, следовательно, вокруг правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Теорема вписанной в правильный многоугольник окружности

В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство.

Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть точка $O$ — центр описанной вокруг данного многоугольника окружности (Рис. 3).

Рисунок 3. Вписанная в правильный многоугольник окружность

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O_1=angle O_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O_1$ и $O_3$ равны.

Аналогично доказывается равенство других треугольников. То есть, мы получим

Значит и высоты этих треугольников равны между собой

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $_1$ проходит через точки $H_1, H_2,dots ,H_n$, то есть касается всех сторон данного многоугольника. Следовательно. Является вписанной для правильного многоугольника.

Единственность. Предположим противное. Пусть существует еще одна вписанная в этот многоугольник окружность. Обозначим её центр $O’$. Тогда $O’$ равноудалена от всех сторон многоугольника, а значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Но тогда точка $O’$ совпадает с точкой $O$ и, следовательно, эти окружности также совпадают.

Теорема доказана.

Из этих двух теорем можно сформулировать следующие следствия:

Следствие 1: Вписанная в правильный многоугольник окружность касается его в серединах его сторон.

Следствие 2: Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же правильный многоугольник. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

Формулы для правильного многоугольника

Дадим теперь несколько формул, относящихся к понятию правильного многоугольника (без их вывода).

Введем следующие обозначения. Пусть $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — периметр правильного многоугольника, $a$ — сторона правильного многоугольника, $r$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, $R$ — радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Тогда

Пример задачи на понятие правильного многоугольника

Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника. Если при каждой вершине взят только один внешний угол.

Решение.

Очевидно, что все внешние углы будут равны между собой и их количество равно $n$. Найдем один из них. Внешний угол $beta $ многоугольника будет смежным с внутренним углом многоугольника. Используя формулу нахождения угла правильного $n$-угольника $alpha =frac<^0(n-2)>$, получим

Значит, сумма всех внешних углов равна

Ответ: $^0.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом видеоуроке мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, описанная около правильного многоугольника». Для начала дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным многоугольником, если равны все его углы и все его стороны.

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника

ТЕОРЕМА: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Пусть А₁А₂А_3…А_n — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А₁ и А₂.

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА₁=ОА₂=…=ОА_n. Так как А₁=А₂, то 1=3, поэтому треугольник А₁А₂О равнобедренный, и, следовательно, ОА₁=ОА₂. Треугольники А₁ А₂О и А₃А₂О равны по двум сторонам и углу между ними (А₁А₂=А₃А₂, А₂О — общая сторона и 3=4), ОА₃=ОА₁.

Итак, ОА₁=ОА₂=…=ОА_n, т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А₁, А₂, А₃. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника А₁А₂…А_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.