Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникСерединный перпендикуляр к отрезку
Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникОкружность описанная около треугольника
Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Видео:🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольникЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник
Площадь треугольникаСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник
Радиус описанной окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиСформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

Вписанная и описанная окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Сформулируйте и докажите теорему об окружности описанной около треугольник

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

📸 Видео

Уравнение окружности описанной около треугольникаСкачать

Уравнение окружности описанной около треугольника

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. ЗадачаСкачать

Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. Задача

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: