Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Геометрия. 7 класс
Конспект урока

Аксиома параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Аксиомы и теоремы.
  • Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
  • Параллельные и перпендикулярные прямые.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.

Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.

Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».

Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.

Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.

  • Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
  • На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
  • От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Аксиома параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство методом от противного.

Пусть ab, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║ c, b ║ c.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

  1. Проведём через точку М прямую c ┴ а.
  2. Затем проведём прямую bc.
  3. Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.

№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.

Сколько из них пересекает прямую р?

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.

2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Свойства параллельных прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

С помощью данного видеоурока вы сможете самостоятельно изучить тему «Свойства параллельных прямых». В ходе него вам предстоит параллельные прямые, рассмотреть их свойства, а также сформулировать одну из самых важных аксиом геометрии.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Ответы к билетам по геометрии в 10 классе (стр. 1 )

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертежИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

Ответы к билетам по геометрии в 10 классе

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертежСформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Дайте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте свойства параллельных плоскостей. Сделайте пояснения и чертежи.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Поясните.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

В пространстве — утверждение неверно; в плоскости — утверждение справедливо.

4. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

В основании призмы лежит равносторонний треугольник. АВС-нижнее основание, А1В1С1-верхнее основание. А=В=С=6см, соответственно и в верхнем осн. тоже самое. СВ1 диагональ СС1В1В.

Решение: 1)Sбок.=площадь СС1В1В+площ. А1В1ВА+площ. АА1С1С.=>они все равны.

2)СС1В1В: СВ1=10см, С1В1=6см СС1=В1В СС1= корень из 100-36= корень из 64 и равно 8. (по теореме Пифагора.)

4) площ. полн.=площ. бок. + 2*площ. осн.

площ осн.= 1/2*8*6=24

5) площ. полн. = 144+24=168

1. Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Тетраэдр и его элементы. Правильный тетраэдр и его свойства. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертежСформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Сколько двугранных углов имеет прямоугольный параллелепипед? Сделайте чертеж и укажите несколько.

Если считать двугранными углы, образующиеся у одного ребра при двух гранях. то 12, столько же, сколько и ребер.

4. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Апофема = 1/2 основания / cos30 = 6 / корень3/2 = 12/корень3 = 4 х корень3

Площадь грани= основание х апофема /2 = 12 х 4 х корень3 / 2 = 24 х корень3

площадь боковой поверхности = 24 х корень3 х 4 = 96 х корень3

Площадь основания = 12 х 12 =144

полная площадь = 144 + 96 х корень3 = 310

1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Сформулируйте теоремы о трех перпендикулярах: прямую и обратную. Сделайте пояснения и чертежи. Приведите примеры.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертежСформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Одна из двух прямых перпендикулярна к плоскости, а другая – не перпендикулярна к ней. Могут ли эти прямые быть параллельными? Поясните.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Если a||b, то, поскольку а⊥α то и b⊥α, но по условию b не перпендикулярна α.

4. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

призма правильная, значит основание призмы — равносторонний треугольник
сторона основания = кореньиз(15^2-9^2)=12 (см)
Sбоковой=3(9*12)=324
Sоснования=(a^2)*кореньиз(3)/4=36*кореньиз(3)
Sполная=2Sоснования+Sбоковой=72*кореньиз(3)+324 (см^2)

1. Опишите взаимное расположение прямых в пространстве. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве? Сделайте пояснения и чертежи.

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Прямоугольный параллелепипед и его свойства.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными? Ответ обоснуйте.

Да. a и b лежат в одной плоскости. Прямая c лежит в другой плоскости (Из определения скрещивающихся прямых). Допустим, прямая с проведена над прямой b и не имеет с ней общих точек. Значит, b и c параллельны, а и c — скрещивающиеся.

4. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60º. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный тр-ик образованный высотой,
апофемой и радиусом вписанной в основание окр.=половине
стороны основания угол при основании=60*при вершине30*
апофема=6*sin60*=6*V3/2=3*V3;катет при основании=0,5*3V3=
=3/2*V3;а сторона основания=3V3;площадь основания=3V3*3V3=27
площадь бок. пов.=(3V3*3V3)/2*3=40,5; общая=40,5+27=67,5см

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Понятие многогранника. Призма и ее элементы. Наклонная и правильная призмы.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Могут ли две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, быть по отношению друг к другу перпендикулярными? Поясните.

4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида КАВСД, К-вершина, АВСД-квадрат, АВ=ВС=СД=АС, О-центр основания-пересечение диагоналей, проводим перпендикуляр ОН на СД, проводим апофему КН, треугольник ОКН прямоугольный, угол ОКН=30, уголОНК=90-30=60, ОК-высота пирамиды=6, КН=ОК/sin60=6/(корень3/2)=4*корень3, ОН=1/2КН=4*корень3/2=2*корень3, АВ=2*ОН=2*2*корень3=4*корень3, площадь основания=АВ в квадрате=4*корень3*4*корень3=48, площадь боковая=1/2*периметрАВСД*КН=1/2*4*4*корень3*4*корень3=96, площадь полная=площадь основания+площадь боковая=48+96=144

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей. Сделайте чертежи и пояснения.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

2. Расстояние от точки до плоскости. Сделайте пояснения и чертежи.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж

3. Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если Сформулируйте аксиому параллельных прямых сделайте чертеж.

точка К — точка пересечения МА и ВС. Тогда угол МАД=45 градусов, угол ДАВ=90(АВСД — квадрат), тогда угол ВАК=45 градусов(смежные). треугольник АКВ прямоугольный, угол АВК=90 и значит угол АКВ=45(угол между прямой МА и ВС).

4. Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см, FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром из этой точки к прямой. Так как тр-к DKF — равнобедренный, то перпендикуляр из точки М на прямую FD попадет в ее середину ( пусть это будет точка Н) . МН вычислим из тр-ка МКН по т. Пифагора. Сначала найдем НК из тр-ка HDK по т. Пифагора:
HK=sqrt(100-36)=8. Теперь найдем МН=sqrt(225+64)=17 расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром из этой точки к прямой. Так как тр-к DKF — равнобедренный, то перпендикуляр из точки М на прямую FD попадет в ее середину ( пусть это будет точка Н) . МН вычислим из тр-ка МКН по т. Пифагора. Сначала найдем НК из тр-ка HDK по т. Пифагора:
HK=sqrt(100-36)=8. Теперь найдем МН=sqrt(225+64)=17

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Сделайте пояснения и чертежи.

📽️ Видео

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

28. Аксиома параллельных прямыхСкачать

28. Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямыхСкачать

Аксиома параллельных прямых

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Аксиома параллельных прямых. Видеоурок 14. Геометрия 7 класс.Скачать

Аксиома параллельных прямых. Видеоурок 14. Геометрия 7 класс.

Аксиома параллельных прямых.Скачать

Аксиома параллельных прямых.

Урок 14 Аксиома параллельных прямых (7 класс)Скачать

Урок 14  Аксиома параллельных прямых (7 класс)

Тема 16. Аксиома параллельных прямыхСкачать

Тема 16. Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямыхСкачать

Аксиома параллельных прямых

7 класс. Геометрия. Урок 12. Аксиома параллельных прямых: теорияСкачать

7 класс. Геометрия. Урок 12. Аксиома параллельных прямых: теория

Геометрия 7 Аксиома параллельных прямыхСкачать

Геометрия 7 Аксиома параллельных прямых

Гречка слушает аксиомы параллельных прямыхСкачать

Гречка слушает аксиомы параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | Инфоурок

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Подобный разбор задача по теме «Аксиома параллельных прямых»Скачать

Подобный разбор задача по теме «Аксиома параллельных прямых»

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: