Можно ли вписать окружность прямоугольник

Можно ли вписать окружность прямоугольник

Какое из следующих утверждений верно?

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2) Все углы ромба равны.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Проверим каждое из утверждений.

1) « Любой прямоугольник можно вписать в окружность.» — верно, выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположныхх углов этого четырёхугольника равна 180°.

2) «Все углы ромба равны.» — неверно, противоположные углы ромба равны.

3) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.» — неверно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружность

Можно ли вписать окружность прямоугольник

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Можно ли вписать окружность прямоугольник
    • Четырехугольник
      Можно ли вписать окружность прямоугольник
    • Многоугольник
      Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

    Прямоугольник. Онлайн калькулятор

    С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

    Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Можно дать и другое определение прямоугольника.

    Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

    Видео:Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать

    Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник

    Свойства прямоугольника

    Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

    • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
    • 2. Все углы прямоугольника прямые.
    • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
    • 4. Диагонали прямоугольника равны.
    • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

    Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

    Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Диагональ прямоугольника

    Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

    Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник
    Можно ли вписать окружность прямоугольник.(1)

    Из равенства (1) найдем d:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник.(2)

    Пример 1. Стороны прямоугольника равны Можно ли вписать окружность прямоугольник. Найти диагональ прямоугольника.

    Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Можно ли вписать окружность прямоугольникв (2), получим:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Ответ: Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Окружность, описанная около прямоугольника

    Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

    №700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

    Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

    Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

    Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

    ( small R=frac )(3)

    Подставляя (3) в (2), получим:

    ( small R=frac<large sqrt> )(4)

    Пример 2. Стороны прямоугольника равны Можно ли вписать окружность прямоугольник. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

    Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Можно ли вписать окружность прямоугольникв (4), получим:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник
    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Ответ: Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

    №708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

    Периметр прямоугольника

    Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

    Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник(5)

    где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

    Пример 3. Стороны прямоугольника равны Можно ли вписать окружность прямоугольник. Найти периметр прямоугольника.

    Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Можно ли вписать окружность прямоугольникв (5), получим:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Ответ: Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

    Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

    Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник(6)
    Можно ли вписать окружность прямоугольник(7)

    Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

    Можно ли вписать окружность прямоугольник(8)
    Можно ли вписать окружность прямоугольник(9)

    Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

    Можно ли вписать окружность прямоугольник(10)

    Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

    Можно ли вписать окружность прямоугольникМожно ли вписать окружность прямоугольник(11)

    Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник(12)

    После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

    Примечание. Легко можно доказать, что

    ( frac

    >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

    Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Можно ли вписать окружность прямоугольник, а периметр равен Можно ли вписать окружность прямоугольник. Найти стороны прямоугольника.

    Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Можно ли вписать окружность прямоугольник, Можно ли вписать окружность прямоугольникв (11):

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Подставляя значения Можно ли вписать окружность прямоугольники Можно ли вписать окружность прямоугольникв первую формулу (12), получим:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Можно ли вписать окружность прямоугольники Можно ли вписать окружность прямоугольникв формулу, получим:

    Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Ответ: Можно ли вписать окружность прямоугольник, Можно ли вписать окружность прямоугольник

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Признаки прямоугольника

    Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    💡 Видео

    Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

    Прямоугольник. Что такое прямоугольник?

    Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

    Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

    Прямоугольник в окружностиСкачать

    Прямоугольник в окружности

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

    Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

    Три окружности в прямоугольнике.Скачать

    Три окружности в прямоугольнике.

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ: прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция и окружностьСкачать

    ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ: прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция и окружность

    №709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать

    №709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм
    Поделиться или сохранить к себе: