Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Докажите, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через центр окружности.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Ваш ответ

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

решение вопроса

Видео:7 класс. Геометрия. Теорема о перпендикулярности диаметра и хорды. 07.04.2020.Скачать

7 класс. Геометрия. Теорема о перпендикулярности диаметра и хорды. 07.04.2020.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,029
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Теорема о серединном перпендикуляре к хорде

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это множество точек, равноудаленных от точек А и В. Другими словами, все точки, равноудаленные от А и В, лежат на серединном перпендикуляре к АВ. С другой стороны, если точки А и В лежат на окружности с центром О, то АО = ВО. Это значит, что точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ.

Видео:№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИ

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Видео:Геометрия Задача найти центр круга /math and magicСкачать

Геометрия Задача найти центр круга /math and magic

Перпендикуляр из центра к хорде окружности проходит через

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоСвойства хорд и дуг окружности
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоТеорема о бабочке

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Серединный перпендикуляр как ГМТ. Описанная окружность"Скачать

Геометрия. 8 класс.  Урок 10 "Серединный перпендикуляр как ГМТ. Описанная окружность"

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Построение центра кругаСкачать

Построение центра круга

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСерединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Пересекающиеся хорды
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство
Пересекающиеся хорды
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Видео:Геометрия 8 класс Урок 10 Серединный перпендикуляр как ГМТ Описанная окружностьСкачать

Геометрия 8 класс  Урок 10 Серединный перпендикуляр как ГМТ Описанная окружность

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Тогда справедливо равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...Скачать

[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Знакомство с окружностью | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Знакомство с окружностью | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательствоДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Видео:Знакомство с окружностью | Задачи 21-31 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Знакомство с окружностью | Задачи 21-31 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

Теорема о серединном перпендикуляре к хорде

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности доказательство

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это множество точек, равноудаленных от точек А и В. Другими словами, все точки, равноудаленные от А и В, лежат на серединном перпендикуляре к АВ. С другой стороны, если точки А и В лежат на окружности с центром О, то АО = ВО. Это значит, что точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ.

Видео:Знакомство с окружностью | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Знакомство с окружностью | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

🎥 Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Мартиросян Карен Рафикович. Геометрические задачи. Занятие 2Скачать

Мартиросян Карен Рафикович. Геометрические задачи. Занятие 2

ЕГЭ 2022 по математике. Самые важные формулы в планиметрии, которые пригодятся на экзаменеСкачать

ЕГЭ 2022 по математике. Самые важные формулы в планиметрии, которые пригодятся на экзамене

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

№16 из ЕГЭ по математике 2021. Гроб или изи? Ортоцентр. Биссектриса и серперСкачать

№16 из ЕГЭ по математике 2021. Гроб или изи? Ортоцентр. Биссектриса и серпер
Поделиться или сохранить к себе: