В треугольнике абс медиана бд

Видео:В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. РЕШЕНИЕ!Скачать

Ваш ответ

Видео:№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AMСкачать

решение вопроса

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,285
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,101
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№120. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВСкачать

Задача 6

В треугольнике (ABC) проведены медиана (BD) и биссектриса (AE), которые пересекаются в точке (K). Прямая, проходящая через вершину (С) и точку (K), пересекает сторону (АВ) в точке (F). Найти длины отрезков (AF) и (FB), если известно, что длина стороны (AB) равна (c), а длина стороны (АС) равна (b).

Через точку (В) проведем параллельную (АС) прямую и продолжим отрезки (АЕ) и (CF) до пересечения с этой прямой в точках (G) и (H) соответственно.

Нетрудно понять, что треугольник (ADK) подобен треугольнику (BGK), а треугольник (CDK) – треугольнику (HBK), поэтому

С другой стороны, угол (AGB) равен углу (BAG), следовательно, треугольник (ABG) равнобедренный и (AB = BG = BH = c). Теперь из подобия треугольников (AFC) и (FBH) получаем: (BH cdot AF = AC cdot BF), или (c cdot AF = b cdot BF). Добавив к последнему соотношению очевидное равенство (AF + BF = c), придем к системе линейных уравнений относительно (AF) и (ВF).

Видео:Геометрия В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 3:7. НайдитеСкачать

Свойства медианы треугольника. Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

Свойства медианы треугольника

Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации. Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда в четырёхугольнике ABKC диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2AM + BN + CK > AB + BC + AC.

Отсюда следует, что AM + BN + CK > (AB + BC + AC).

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм. Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 SDEF’ , то SAED+SBFD>SDEF , следовательно, указанным образом расположить точки невозможно.

так расположить точки нельзя.

Источник: Окружная олимпиада (Москва) , 2008 г, 11 класс

№32 Темы: Удвоение медианы. Ортоцентр и ортотреугольник Сложность:5 + Три точки, лежащие на одной прямой Подобные треугольники Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A , B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM , BM , CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH .

Решение

Пусть A’B’C’ – треугольник, образованный

проведенными прямыми и G – точка пересечения его

медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезка GH . Достроим треугольник BMC до параллелограмма BMCA1 . Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM , причем AM = A1M (поскольку точка M делит медиану в отношении 2:1 ). Кроме того, BA1|| MC A’B’ и CA1|| MB A’C’ , поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA’C , значит A1 является ортоцентром треугольника BA’C , и

A’A1 BC . Стороны треугольника BA1M перпендикулярны

сторонам треугольника A’B’C’ соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причем соответствующие прямые BC и

AG , содержащие медианы этих треугольников,

перпендикулярны. Значит, прямая A’G совпадает с прямой A’A1 . Пусть G’ – точка, симметричная точке H относительно M . Треугольники AHM и A1G’M симметричны относительно M , поэтому A1G’|| AH BC . Отсюда следует, что G’ лежит на прямой A’G . Аналогично, получаем, что G’ лежит на прямой B’G , то есть G’ совпадает с G .

Источник: Всероссийская олимпиада по математике, 2008 г, 9 класс

Отрабатываем умение: самостоятельно решать задачи.

Свойства медианы. Площадь треугольника

1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна . Найдите площадь треугольника.

4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, , . Чему равен квадрат третьей стороны?

5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма).

О т в е т: .

1. Одна сторона треугольника равна а, другая – b. Найдите третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

О т в е т: .

2. Основание равнобедренного треугольника , медиана боковой стороны 5. Найдите длины боковых сторон.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно , а угол при основании равен 300. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

4. Медианы треугольника равны 5, и . Докажите, что треугольник прямоугольный.

5. Числа , и выражают длины медиан некоторого треугольника. Докажите, что если выполняется равенство , то треугольник является прямоугольным.

Медиана, проведенная к гипотенузе

1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 см и делит прямой угол в отношении 2:1. Найдите меньший катет.

2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. . Найдите .

3. Медианы треугольника АВС АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. .см. см. Найдите ВО.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

О т в е т: 150; 750.

5. В трапеции ABCD углы при основании AD равны 200 и 700, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

· , , Ленинградские математические кружки

· , Задачи по планиметрии, Издательство МЦНМО, 2001г

· интернет сайт http://zadachi. ***** Задачи по геометрии

· Всероссийская олимпиада по математике, 2008 год,

· Турнир им. Ломоносова, 2001 год

· Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс

🎬 Видео

№161. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, чтоСкачать

№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABCСкачать

№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный ADСкачать

№121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину ССкачать

Геометрия В треугольнике ABC известно что AB = BC = 20 см угол A = 70 Найдите 1) сторону ACСкачать

Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.Скачать

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Длина медианы треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№127. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскостиСкачать