Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Отрезок, луч, прямаяСкачать

Отрезок, луч, прямая

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(Рис.8).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Докажем, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(Рис.11).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Тогда из Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетследует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Из Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетследует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, но не принадлежит прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Говорят, что прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпересекаются в точке М.
Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Это можно записать так: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— знак принадлежности точки прямой, «Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетперпендикулярны (рис. 12), то пишут Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.
  2. Если Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 90°, то а Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАВ и b Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.
  3. Если Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетОFА = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2). Из равенства этих треугольников следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЗ = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет5 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6.
  6. Так как Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет5 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6 следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6 = 90°. Получаем, что а Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетFF1 и b Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетFF1, а аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет
2) Заметим, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетAOF = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетl + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180° и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180° следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетF и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3. Кроме того, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAF. Действительно, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетFAC равны как соответственные углы, a Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетFAC = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180° (рис. 97, а).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3= 180°.

4) Из равенств Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет= Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 = 180° следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAF + Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нета (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Так как Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = 90°, то и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = 90°, а, значит, сЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№2 - Луч и угол.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№2 - Луч и угол.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпараллельны, то есть Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, лучи АВ и КМ.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 161).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, перпендикулярную прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети строят другую перпендикулярную прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, затем — третью прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети т. д. Поскольку прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетперпендикулярны одной прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то из указанной теоремы следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, параллельной прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или неттретьей прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет5,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет8,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет7,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет5,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет8 — соответственные углы;
  • Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет6,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет5 — внутренние односторонние углы;
  • Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет7,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— данные прямые, АВ — секущая, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 (рис. 166).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети продлим его до пересечения с прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 по условию, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBMK =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетANM =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBKM = 90°. Тогда прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 (рис. 167).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети секущей Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетl +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180° (рис. 168).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети секущей Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетAOB = Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAO=Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAK = 26°, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAC = 2 •Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетADK +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1=Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2. Так как Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет||Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Реальная геометрия

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпроходит через точку М и параллельна прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет||Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 187).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет||Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Доказательство:

Предположим, что прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, параллельные третьей прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет||Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет4. Доказать, что Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Так как Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, которая параллельна прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, которые параллельны прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, АВ — секущая,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2.

Доказательство:

Предположим, чтоЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, параллельные прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— секущая,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 — соответственные (рис. 196).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать:Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— секущая,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 иЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказать:Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетl +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетl =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3 как накрест лежащие. Следовательно,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетl +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, т. е.Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 = 90°. Согласно следствию Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, т. е.Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 = 90°.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАОВ =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетABD =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетADB =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетпараллельны, то пишут: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(рис. 211).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет3. Значит,Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет1 =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет2.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети АВЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то расстояние между прямыми Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, А Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, С Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, АВЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, CDЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетCAD =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетравны (см. рис. 285). Прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, проходящая через точку А параллельно прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, которая параллельна прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетбудет перпендикуляром и к прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAD +Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, параллельную прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Тогда Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет|| Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетравноудалены от прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетна расстояние Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, то есть расстояние от точки М до прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетравно Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Но через точку К проходит единственная прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, параллельная Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Значит, точка М принадлежит прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет.

Таким образом, все точки прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетравноудалены от прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет. Прямая Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетЛуч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет— параллельны.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нети Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нетесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Полуплоскость, луч. 7 класс.Скачать

Полуплоскость, луч. 7 класс.

Параллельные прямые

Определение


Параллельными прямыми
называются две прямые,
которые не пересекаются.

Параллельность прямых обозначают знаком: . Например
параллельность прямых a и b обозначается так: a ∥ b.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

На рисунке 1 изображены три прямые. Прямая а параллельна
прямой b, прямая c не параллельна ни одной из прямых.

Также, как и параллельные прямые, существуют параллельные
отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они
лежат на параллельных прямых.

Признаки

Параллельность двух прямых можно доказать по трем признакам.

Луч и прямая называются параллельными если луч лежит на параллельной прямой да или нет

На рисунке 2 изображены 8 углов, при помощи которых можно
доказать все три признака параллельности. Это накрест лежащие
углы: 3 и 5, 4 и 6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым,
если она пересекает их в двух точках.

  1. Если при пересечении двух прямых секущей
    накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей
    соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей
    сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

🎥 Видео

Геометрия 7. Урок 2 - определения. Луч и отрезок.Скачать

Геометрия 7. Урок 2 - определения. Луч и отрезок.

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Математика 5 класс (Урок№21 - Прямая, луч, отрезок.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№21 - Прямая, луч, отрезок.)

Плоскость. Прямая. Луч | Математика 5 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Плоскость. Прямая. Луч | Математика 5 класс #3 | Инфоурок

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

прямая луч отрезок ломаная 7 класс геометрияСкачать

прямая луч  отрезок ломаная 7 класс геометрия

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.

Параллельные прямыеСкачать

Параллельные прямые

Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 класс

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: