Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
Плоскость 
проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью 
Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.
По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому 
и 
По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D1B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED1F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и 
равны по гипотенузе и катету: 
Значит, 
а ABCD является квадратом.
б) Пусть K — середина ребра BB1 а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).
В прямоугольном треугольнике BKN имеем: 
Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: 
Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку 
для искомого угла между плоскостями получаем:
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромбСечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD – квадрат. б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
а) Диагонали ромба перпендикулярны, проекциями этих диагоналей на плоскость ABCD являются диагонали прямоугольника ABCD, которые также должны быть перпендикулярны. Значит ABCD – квадрат. б) Из доказанного следует, что треугольники BCN, BAM, D1A1M, D1C1N равны по катету и гипотенузе, откуда M и N являются серединами рёбер AA1 и CC1 соответственно. Проведем перпендикуляр из M к плоскости BCC1 – MK. Из точки K проведем перпендикуляр к BN, получим точку Н. Угол MHK – искомый линейный угол между плоскостями. Из треугольника BKN с катетами 3 и 4 находим высоту КН = 12/5. По построению КМ = 4, поэтому угол MHK найдется: ∠ МНК = arctg MK/KH = arctg 5/3. Ответ: а) ч.т.д.; б) arctg 5/3. Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями и , если
а) Построим сечение, содержащее прямую и параллельное прямой АС. Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепипеда; О — середина диагонали В плоскости через точку О проведем прямую MN, параллельную AC. Точка M лежит на ребре , точка N лежит на ребре ; Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник , который по условию является ромбом. Так как — ромб, Тогда По теореме о трёх перпендикулярах Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат. б) Угол между плоскостью сечения и плоскостью — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Мы можем найти искомый угол между и , пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры: Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна , где — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Пусть — середина Тогда — проекция ромба на плоскость
Площадь ромба Площадь его проекции на плоскость Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что Решая задачу другим способом, можно получить ответ Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку — острый угол, его тангенс и косинус положительны. |
