Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
Плоскость 
проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью 
Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.
По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому 
и 
По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D1B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED1F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и 
равны по гипотенузе и катету: 
Значит, 
а ABCD является квадратом.
б) Пусть K — середина ребра BB1 а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).
В прямоугольном треугольнике BKN имеем: 
Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: 
Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку 
для искомого угла между плоскостями получаем:
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать  Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромбСечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD – квадрат. б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
а) Диагонали ромба перпендикулярны, проекциями этих диагоналей на плоскость ABCD являются диагонали прямоугольника ABCD, которые также должны быть перпендикулярны. Значит ABCD – квадрат. б) Из доказанного следует, что треугольники BCN, BAM, D1A1M, D1C1N равны по катету и гипотенузе, откуда M и N являются серединами рёбер AA1 и CC1 соответственно. Проведем перпендикуляр из M к плоскости BCC1 – MK. Из точки K проведем перпендикуляр к BN, получим точку Н. Угол MHK – искомый линейный угол между плоскостями. Из треугольника BKN с катетами 3 и 4 находим высоту КН = 12/5. По построению КМ = 4, поэтому угол MHK найдется: ∠ МНК = arctg MK/KH = arctg 5/3. Ответ: а) ч.т.д.; б) arctg 5/3. Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать  Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями и , если
а) Построим сечение, содержащее прямую и параллельное прямой АС. Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепипеда; О — середина диагонали В плоскости через точку О проведем прямую MN, параллельную AC. Точка M лежит на ребре , точка N лежит на ребре ; Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник , который по условию является ромбом. Так как — ромб, Тогда По теореме о трёх перпендикулярах Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат. б) Угол между плоскостью сечения и плоскостью — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Мы можем найти искомый угол между и , пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры: Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна , где — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Пусть — середина Тогда — проекция ромба на плоскость
Площадь ромба Площадь его проекции на плоскость Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что Решая задачу другим способом, можно получить ответ Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку — острый угол, его тангенс и косинус положительны. 🎬 Видео№195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда AD1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1Скачать  ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать  СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать  №14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать  Как строить сечения параллелепипедаСкачать  №86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать  Как строить сечения в стереометрии? Задача 13Скачать  5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать  Как строить сеченияСкачать  Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать  10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать  🔴 Два ребра прямоугольного параллелепипеда ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  ЗАДАНИЕ 2 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.Скачать  Профильный ЕГЭ 2023. Задача 13. Построение сечений. Стереометрия. 10 классСкачать  Задание 5. ЕГЭ профиль. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.Скачать  11 класс, 30 урок, Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать  Построение сечений Занятие 1Скачать  Все о построении сечений в многогранниках | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать  |
