Сечение треугольника в параллелепипеде

Сечение треугольника в параллелепипеде

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

Сечение треугольника в параллелепипеде

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Сечение треугольника в параллелепипеде

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

Сечение треугольника в параллелепипеде

MKNTPL — искомое сечение.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

Сечение треугольника в параллелепипеде.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Виды сечений параллелепипеда

Решение задач на построение сечений

Подумайте, какой школьный предмет позволяют научиться правильно выполнять и оформлять чертежи, познакомится с различными графи­ческими способами передачи сведений об объектах предметного мира. Правильно! Это черчение. Для изготовления деталей на заводе используются точные чертежи этих деталей в разрезе. Разрезы используются для показа внутренней формы изделия. Разрезом называется изображение, полученное при мысленном рассечении детали одной или несколькими секущими плоскостями. В разрезах показывается то, что получается в секущей плоскости.На экране изображение Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране рисунок

Секущая плоскость

Сечение треугольника в параллелепипедеСечение треугольника в параллелепипеде

При решении геометрических задач связанных с тетраэдром и параллелепипедом тоже иногда необходимо построить разрез фигуры. Только полученное изображение в геометрии называется сечением. Давайте разберёмся, что называется сечением тетраэдра и параллелепипеда.
Секущая плоскость α пересекает грани тетраэдра по отрезкам АЕ, ЕС, АС. Треугольник АЕС, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, значит его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольник. При пересечении параллелепипеда секущая плоскость также оставляет следы на его боковых гранях в виде отрезков. Отрезки образуют многоугольник, который называется сечением параллелепипеда. Так как у параллелепипеда шесть граней, то в сечении может получиться фигура треугольник, на рисунке вы это видите. Четырехугольник Пятиугольник и шестиугольник . При построении сечений очень легко нарушить геометрические факты, теоремы. Например, данное сечение параллелепипеда плоскостью содержит ошибку. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Значит, отрезок АВ и отрезок RP на чертеже должны быть изображены параллельно. А мы наблюдаем, что это не так . Но и отрезки AR и BP тоже не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Значит плоскость α, должна пересекать грани АА1D1D и BB1C1C по параллельным прямым. Исправим ошибки. Или на данном чертеже прямая LM пересекает ребро ВC в точке N. Но это невозможно. Прямая LM принадлежит плоскости АА1D1D, а прямая ВС не лежит в данной плоскости, значит они не могут пересекаться, они скрещивающиеся прямые. Так прямая LM не может пересекать DC, ВВ1 , а вот c прямой AD они пересекаются. Исправим ошибку на чертеже.На экране текст и изображение: Сечение тетраэдра Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение и текст: Виды сечений тетраэдра

Сечение треугольника в параллелепипедеВ сечении тераэдра плоскостью лежит треугольник Сечение треугольника в параллелепипедеВ сечении тетраэдра плоскостью лежит четырёхугольник

На экране изображение и текст:

Сечение параллелепипеда

Сечение треугольника в параллелепипеде

На экране изображение и текст:

Виды сечений параллелепипеда

Сечение треугольника в параллелепипедеВ сечении паралелепипеда плоскостью лежит треугольник Сечение треугольника в параллелепипедеВ сечении паралелепипеда плоскостью лежит пятьугольник

На экране изображение:

Сечение треугольника в параллелепипеде

На экране обновляется изображение

Сечение треугольника в параллелепипеде

Сечение треугольника в параллелепипеде

На экране обновляется чертёж

Сечение треугольника в параллелепипеде

Рассмотрим примеры построения различных сечений. Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M. Изобразим тетраэдр и данные точки. При построении сечений нужно помнить один факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Так у нас секущая плоскость проходит чрез точки M,L, а они лежат в плоскости CDB, значит ML-линия пересечения плоскостей. Аналогично прямая KL является линией пересечения секущей плоскости и грани ADB Для того чтобы построить линию пересечения с гранью АВС нужны две точки. Точка М уже у нас есть. Для построения второй точки. Продлим до пересечения прямые KL и АВ. Отметим их общую точку S. Точка S принадлежит секущей плоскости, так как ей принадлежит прямая KL и принадлежит грани АВС, так как ей принадлежит прямая АВ. Значит секущая плоскость пересекает плоскость АВС по прямой MS. Построим эту прямую. Отметим точку P- точку пересечения прямой с ребром АС. Отрезок PM- след от сечения грани плоскостью α. Мы получили в результате две точки K и Р В грани АDC. Отрезок КР есть линия пересечения секущей плоскости и грани. Проведем этот отрезок. Четырехугольник KLMP-искомое сечение.На экране текст. Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M. На экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение. Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение

Сечение треугольника в параллелепипедеЗадача. Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M. Решение: Четырехугольник KLMP-искомое сечение.
Рассмотрим задачу на построение сечения параллелепипеда. На рёбрах параллелепипеда даны точки K,L,M. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM. Построим данный параллелепипед и отметим указанные точки. Так как точки L и M принадлежат грани АА1D1D и секущей плоскости, значит прямая LM их линия пересечения, а отрезок LM след от сечения грани АА1D1D секущей плоскостью. Аналогично в грани DD1C1C построим прямую MK и выделим отрезок MK. В грани А1B1C1D1 есть только одна точка L, для построения второй точки продлим до пересечения прямые D1C1 и MK. Отметим их общую точку H. Точка H принадлежит секущей плоскости, так принадлежит прямой MK. И принадлежит грани A1B1C1D1, так как принадлежит прямой D1C1. Проведем прямую LH. Отметим точку T точку пересечения прямой с ребром B1C1. Выделим отрезок LT это будет след от сечения плоскость. Так как точки T и К принадлежат секущей плоскости и грани ВВ1С1С, то отрезок ТК будет следом от сечения в этой грани. Выделим получившийся четырехугольник KMLT. Это искомое сечение. Рассмотренные задачи относятся к классу задач на построение и имеют свои этапы решения: анализ, построение, доказательство. Мы рассмотрели только этап построения, так как наша цель– научиться строить искомое сечение.На экране текст: На рёбрах CC1,A1D1, DD1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 отмечены точки K,L,M соответственно. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM. На экране изображение: Сечение треугольника в параллелепипедеНа экране изображение:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM.

На экране изображение и и текст:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM. 2) Провести прямую MK, выделить отрезок MK

На экране изображение и текст:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM. 2) Провести прямую MK, выделить отрезок MK 3) Провести прямые D1C1 и MK, отметить точку Н.

На экране изображение и текст:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM. 2) Провести прямую MK, выделить отрезок MK 3) Провести прямые D1C1 и MK, отметить точку Н. 4) Провести прямую LH, отметить точку Т, выделить отрезок LT.

На экране изображение:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM. 2) Провести прямую MK, выделить отрезок MK 3) Провести прямые D1C1 и MK, отметить точку Н. 4) Провести прямую LH, отметить точку Т, выделить отрезок LT. 5) Провести и выделить отрезок ТК.

На экране изображение:

Сечение треугольника в параллелепипедеРешение: 1) Провести прямую LM, выделить отрезок LM. 2) Провести прямую MK, выделить отрезок MK 3) Провести прямые D1C1 и MK, отметить точку Н. 4) Провести прямую LH, отметить точку Т, выделить отрезок LT. 5) Провести и выделить отрезок ТК. 6) Четырехугольник KMLT-искомое сечение.

Комментарий: задачи разобраны очень подробно, оформлены, четко структурированы. были небольшие опечатки по ходу решения.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде.

Просмотр содержимого документа
«Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде.»

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

©Затеева Валентина Павловна ,

учитель математики школы № 15 с углубленным изучением отдельных предметов.

Сечение треугольника в параллелепипеде

  • Цели и задачи
  • Введение
  • Понятие секущей плоскости
  • Определение сечения
  • Правила построения сечений
  • Виды сечений тетраэдра
  • Виды сечений параллелепипеда
  • Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
  • Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
  • Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам
  • Второй вариант решения предыдущей задачи
  • Задача на построение сечения параллелепипеда
  • Задача на построение сечения параллелепипеда
  • Источники информации
  • Пожелание учащимся

Сечение треугольника в параллелепипеде

Развитие пространственных представлений у учащихся.

  • Познакомить с правилами построения сечений.
  • Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости.
  • Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники».

Сечение треугольника в параллелепипеде

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

Сечение треугольника в параллелепипеде

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

Многоугольник , сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Сечение треугольника в параллелепипеде

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

При этом необходимо учитывать следующее:

1. Соединять можно только две точки, лежащие

в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

  • Четырехугольники
  • Треугольники

Сечение треугольника в параллелепипеде

Параллелепипед имеет 6 граней

  • Четырехугольники
  • Шестиугольники

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

точки М и К, т.к. они лежат

в одной грани (АDC).

2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB).

3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN.

4. Треугольник MNK –

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

3. Продолжим EF, продол- жим AC.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку?

Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку ?

Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение.

Какие точки можно сразу соединить?

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечение параллелепипеда плоскостью,

проходящей через точки M,A,D.

3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A 1 B 1 C 1 )

5. AEMD – сечение.

Сечение треугольника в параллелепипеде

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1 , М, N

7. Продолжим MN и BD.

5. В 1 О ∩ А 1 А=К

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Сечение треугольника в параллелепипеде

  • 1. Геометрия 10-11: учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.,М.Просвещение
  • 2. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы / Б.Г.Зив,С.-Петербург, НПО «Мир и семья», изд-во «Акация».
  • 3. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы / Д.И.Аверьянов, П.И.Алтынов – М.: Дрофа

Сечение треугольника в параллелепипеде

📽️ Видео

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как строить сечения параллелепипеда

Как строить сеченияСкачать

Как строить сечения

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Построение сечения параллелепипеда через три точкиСкачать

Построение сечения параллелепипеда через три точки

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДАСкачать

СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Построение Сечения.Сечение в параллелепипеде #4Скачать

Построение Сечения.Сечение в параллелепипеде #4

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

Сечение параллелепипедаСкачать

Сечение параллелепипеда

Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)

Как строить сечение куба? Стереометрия. 10-11 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Как строить сечение куба? Стереометрия. 10-11 класс | Математика | TutorOnline

Все о построении сечений в многогранниках | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Все о построении сечений в многогранниках | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул

№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей

ЕГЭ Задание 14 Параллелепипед СечениеСкачать

ЕГЭ Задание 14 Параллелепипед Сечение

Построение сечений Занятие 1Скачать

Построение сечений Занятие 1

СЕЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. Три точки на разных гранях.Скачать

СЕЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. Три точки на разных гранях.

ЕГЭ профиль: сечения часть 1Скачать

ЕГЭ профиль: сечения часть 1

ЕГЭ Математика 13 Задание Сечения прямоугольного параллелепипеда Метод следовСкачать

ЕГЭ Математика 13 Задание Сечения прямоугольного параллелепипеда Метод следов
Поделиться или сохранить к себе: