С помощью единичной окружности найдите синус 1115 (7 видео)

Синус и косинус. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти синусы и косинусы угла, представленных как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Содержание

Синус и косинус − теория, примеры и решения
График функции синус (y=sin x)
График функции косинус (y=cos x)
Синус угла. Таблица синусов.
Синус угла через градусы, минуты и секунды
Синус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная синус этого угла
Определение синуса
Периодичность синуса
Алгебра
Синус и косинус угла на единичной окружности
🎥 Видео

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Синус и косинус − теория, примеры и решения

Пусть задана прямоугольная система координат xOy и пусть на ней нарисована окружность радиусом 1 и с центром в начале координат. Рассмотрим единичный вектор лежащий на оси Ox. Положительным направлением поворота вектора относительно центра координат O принята считать поворот против часовой стрелки, а отрицательным направлнением − по часовой стрелке. Пусть некоторый вектор, совпадающий с вектором , совершивший поворот в положительном направлении совпадает с вектором (Рис.1).

С помощью единичной окружности найдите синус 1115

Точку B назовем точкой, соответствующей углу α. Рассмотрим координаты x, y точки B. Абсцис x точки B называют косинусом угла α и обозначают cosα, а ординат y точки B называют синусом угла α и обозначают sinα. Таким образом

Так как мы рассматриваем окружность с радиусом R=1, то

а любая точка на кружности удовлетворяет следующему равенству:

x 2 +y 2 =1.

(3)

Подставляя (1) и (2) в (3), получим:

cos 2 α+sin 2 α=1.

(4)

На рисунках Рис.2 и Рис.3 представлены некоторые углы единичной окружности в радианах и в градусах. Как преобразовать градусы в радианы и наоборот посмотрите на странице радианы и градусы онлайн.

Как видно из рисунков, оси OX и OY разделяют плоскость на 4 части. Эти части принято пронуменровать римскими числами I, II, III, IV. Каждая часть называется четвертью. На рисунке Рис.2 в каждой четверти окружность разделена на две части, а в Рис.3 − на три.

Пример 1. Найти синус и косинус угла, равного 45°(или радиан)( Рис.4).

Имеем прямоугольный треугольник OxB. Так как угол BOx=45°, то угол OBx=45°. Следовательно треугольник OBx равнобедренный, т.е.

Подставляя (5) в (3), получим:

То есть (учитывая (1) и (2))

(6)

В радианных мерах (6) примет следующий вид:

(7)

Пример 2. Найти синус и косинус угла, равного 60°(или радиан)( Рис.5).

Имеем прямоугольный треугольник OxB. Так как угол BOx=60°, то угол OBx=30°. Как известно из геометрии, катет, напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Т.е.

(8)

Подставляя (8) в (3), получим:

В первой четверти x>0, y>0. Тогда, учитывая (1) и (2), решением будет:

Пример 3. Найти синус и косинус угла, равного 120°(или радиан)( Рис.6).

Имеем прямоугольный треугольник OxB. Так как угол BOx=120°, то ∠yOB=∠OBx=30°. Как известно из геометрии, катет, напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Т.е.

(9)

Подставляя (9) в (3), получим:

Во второй четверти x 0. Тогда, учитывая (1) и (2), решением будет:

С помощью вышеизложенных соображений можно построить таблицу синусов и косинусов некоторых углов.

Рассмотрим свойства синуса и косинуса.

Свойство 1. Для любого числа α справедливы равенства:

(10)

(11)

Доказательство. Пусть числу α соответствует точка P на окружности (Рис. 7). Тогда числу −α соответствует точка Q, симметричная точке P относительно оси абсцисс. Эти точки имеют одну и ту же абсциссу, следовательно . Такие точки имеют равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты. Следовательно .

Свойство 2. Для любого числа α выполнены равенства (в радианах):

(12)

(13)

(14)

(15)

где k∈Z (k любое целое число).

Поскольку числам α и α+2πk в радианах соответствует одна и та же точка на числовой окружности, то справедливы равенства (12) и (13). Так как числам α и α+360k в градусах соответствует одна и та же точка на числовой окружности, то выполнены равенства (14) и (15).

Свойство 3. Для любого значения α выполнены равенства (в радианах):

(16)

(17)

(18)

(19)

Например (в радианах):

Доказательство. Пусть числу α соответствует точка P на окружности. Тогда числу α+π (или α+180°) соответствует точка Q, симметричной точке P относительно начала координат (Рис. 8). Абсциссы этих точек равны по модулю но имеют противоположные знаки. Ординаты этих точек равны по модулю и имеют противоположные знаки. А это значит, что выполнены равенства (16),(17),(18),(19).

Видео:Определение синуса и косинуса на единичной окружности | Алгебра 10 класс #11 | ИнфоурокСкачать

График функции синус (y=sin x)

Для построения графика функции синус, поставим в соответствие любому числу α, ординату соответствующей точки на единичной окружности (Рис.9).

Пусть точка M движется по окружности в положительном направлении (против часовой стрелки) начиная с точки A. вектор радиус точки M движется по окружности, начиная от точки A.

Вектор радиус точки M с осью OX имеет угол α. Увеличивая этот угол от нуля до π/2 ордината точки M увеличивается от 0 до 1. Далее, увеличивая этот угол от π/2 до π, ордината точки M уменьшается на от 1 до 0. Построим график функции синус на отрезке [0,π]. Так как привычнее запись функции в виде y=sin x, то вместо sin α мы будем использовать sin x, а y− это значение функции соответствующей точке x.

В декартовой прямоугольной системе координат, на оси OX отметим точки (можно взять π≈3 и тогда этим точкам будут соответствовать числа 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3). Далее, используя таблицу 1, запишем соответствующие значения y.

Равенство (10) показывает, что функция синус симметрична относительно начала координат (т.е. нечетна). Тогда добавив построенной линии, линию, симметричную относительно начала коордиинат, получим:

Равентство (12)((14)) показывает, что синус периодичная функция с периодом 2π( 360°). Это означает, что функция в диапазоне [−π;π] повторяется начиная с π направо и с −π влево:

Видео:Как найти значения синуса и косинуса, НЕ запоминая!Скачать

График функции косинус (y=cos x)

Для построения графика функции косинус, поставим в соответствие любому числу α, абсциссу соответствующей точки на единичной окружности (Рис.13).

Пусть точка M движется по окружности в положительном направлении (против часовой стрелки) начиная с точки A.

Вектор радиус точки M с осью OX имеет угол α. Увеличивая этот угол от нуля до π/2 абсцисс точки M уменьшается от 1 до 0. Далее, увеличивая этот угол от π/2 до π, абсцисс точки M увеличивается от 0 до 1. Построим график функции косинус на отрезке [0,π]. Так как привычнее запись функции в виде y=cos x, то вместо cos α мы будем использовать cos x, а y− это значение функции соответствующей точке x.

Равенство (11) показывает, что функция синус симметрична относительно оси ординат (т.е. четна). Тогда добавив построенной линии, линию, симметричную относительно оси ординат, получим:

Равентство (13)((15)) показывает, что косинус периодичная функция с периодом 2π( 360°). Это означает, что функция в диапазоне [−π;π] повторяется начиная с π направо и с −π влево:

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус угла. Таблица синусов.

Видео:Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

Синус угла через градусы, минуты и секунды

Видео:Тема 1. Единичная окружность. Градусная и радианная мера произвольного угла. Определение синуса и тдСкачать

Синус угла через десятичную запись угла

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Как найти угол зная синус этого угла

У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x

Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°

Видео:🔴 Найдите sin⁡x, если cos⁡x=-√15/4 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 5 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Определение синуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Видео:СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | ТригонометрияСкачать

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π

Видео:Синус и косинус на единичной окружности. ПримерСкачать

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Тригонометрический круг вместо стопки формулСкачать

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты х_А и у_А:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате у_А. Получается, что у_А = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате х_А, мы получим следующее:

х_А = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата х_А равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть