С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Геометрия. 7 класс
Конспект урока

Аксиома параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Аксиомы и теоремы.
  • Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
  • Параллельные и перпендикулярные прямые.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.

Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.

Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».

Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.

Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.

  • Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
  • На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
  • От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Аксиома параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство методом от противного.

Пусть ab, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║ c, b ║ c.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

  1. Проведём через точку М прямую c ┴ а.
  2. Затем проведём прямую bc.
  3. Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.

№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.

Сколько из них пересекает прямую р?

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.

2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, но не принадлежит прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Говорят, что прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпересекаются в точке М.
С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Это можно записать так: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— знак принадлежности точки прямой, «С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияперпендикулярны (рис. 12), то пишут С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.
  2. Если С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 90°, то а С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАВ и b С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.
  3. Если С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияОFА = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2). Из равенства этих треугольников следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияЗ = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия5 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6.
  6. Так как С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия5 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6 следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6 = 90°. Получаем, что а С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияFF1 и b С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияFF1, а аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия
2) Заметим, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 как вертикальные углы.

3) Из равенств С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияAOF = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияl + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180° и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180° следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияF и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3. Кроме того, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAF. Действительно, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияFAC равны как соответственные углы, a С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияFAC = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180° (рис. 97, а).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3= 180°.

4) Из равенств С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия= С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 = 180° следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAF + С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Так как С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = 90°, то и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = 90°, а, значит, сС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияb.

Что и требовалось доказать.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпараллельны, то есть С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, лучи АВ и КМ.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 161).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, перпендикулярную прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи строят другую перпендикулярную прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, затем — третью прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи т. д. Поскольку прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияперпендикулярны одной прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то из указанной теоремы следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, параллельной прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствиятретьей прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия5,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия8,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия7 — внешние накрест лежащие углы;
  • С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия7,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия5,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия8 — соответственные углы;
  • С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия6,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия5 — внутренние односторонние углы;
  • С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия7,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— данные прямые, АВ — секущая, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 (рис. 166).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи продлим его до пересечения с прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 по условию, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBMK =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияANM =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBKM = 90°. Тогда прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 (рис. 167).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи секущей С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияl +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180° (рис. 168).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи секущей С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияAOB = С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAO=С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAK = 26°, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAC = 2 •С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияADK +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1=С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2. Так как С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия||С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Реальная геометрия

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпроходит через точку М и параллельна прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия||С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 187).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия||С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Доказательство:

Предположим, что прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, параллельные третьей прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия||С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия4. Доказать, что С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Так как С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, которая параллельна прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, которые параллельны прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, АВ — секущая,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2.

Доказательство:

Предположим, чтоС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, параллельные прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— секущая,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 — соответственные (рис. 196).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать:С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— секущая,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 иС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 — внутренние односторонние (рис. 197).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказать:С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияl +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 = 180°. По свойству параллельных прямыхС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияl =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3 как накрест лежащие. Следовательно,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияl +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, т. е.С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 = 90°. Согласно следствию С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, т. е.С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 = 90°.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАОВ =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияABD =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияADB =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияпараллельны, то пишут: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(рис. 211).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия3. Значит,С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия1 =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия2.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи АВС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то расстояние между прямыми С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, А С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, С С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, АВС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, CDС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияCAD =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияравны (см. рис. 285). Прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, проходящая через точку А параллельно прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, которая параллельна прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствиябудет перпендикуляром и к прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAD +С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, параллельную прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Тогда С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия|| С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияравноудалены от прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияна расстояние С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, то есть расстояние от точки М до прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияравно С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Но через точку К проходит единственная прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, параллельная С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Значит, точка М принадлежит прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия.

Таким образом, все точки прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияравноудалены от прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия. Прямая С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияС 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия— параллельны.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияи С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Аксиома параллельных прямых

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 112.

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 112.

Аксиома параллельных прямых – это один из постулатов Евклидовой геометрии, на которой построено доказательство всех современных теорем стереометрии. Это определение не только математическое, но и историческое. Именно о формулировке, истории появления и интересном признаке, который следует из этих утверждений и пойдет речь сегодня.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствия

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Немного истории

Почти все современные источники приписывают формулировку аксиомы Евклиду, но на самом деле родоначальник геометрии сформулировал немного другую аксиому, а вернее даже не аксиому, а скорее признак. Что интересно, его долгое время пытались опровергнуть, но сегодня перестали.

Пятый постулат или аксиома Евклида звучит так: Если при пересечении двух прямых третьей, сумма односторонних углов менее 180 градусов, то такие прямые пересекаются, при том с той стороны, где сумма углов меньше 180.

Ничего не напоминает? Конечно же, это третий признак параллельности прямых, вывернутый наизнанку: две прямые параллельны, если односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

А современная трактовка аксиомы: Через точку в плоскости может быть проведена одна и только одна прямая параллельная данной – принадлежит другому древнегреческому математику – Проклу. Вот такая небольшая историческая ошибка.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Формулировка

Но кто бы там ни был автором аксиомы, в любой задаче и при любом доказательстве, нужно иметь в виду: утверждение зовется аксиомой параллельных прямых и формулируется так: через точку на плоскости можно провести только одну прямую параллельную данной.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Следствия

Эта аксиома имеет два следствия, которые еще называют свойствами параллельных прямых.

На самом деле, следствий три, но третье в своем доказательстве имеет не только аксиому, а поэтому следствием в полной мере считаться не может. Формулируется третье следствие так: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Мы докажем это утверждение чуть позже.

Первое следствие из аксиомы параллельных прямых звучит так: если прямая параллельна одной из параллельных прямых, то она параллельна и третьей.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияРис. 1. Иллюстрация следствия.

Второе следствие: Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Оба следствия доказываются методом от противного.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Задача

Третье следствие всегда доказывается учениками как задача. Итак, необходимо доказать, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

С 10 признаки параллельности прямых аксиома параллельных прямых и ее следствияРис. 3. Рисунок к задаче.

Проведем две параллельные прямые а и b. Прямая с перпендикулярна прямой а. Это значит, что прямая с пересекает прямую а, то есть по следствия 2 из аксиомы о параллельности прямых, прямая с пересечет и прямую b, так как b и а параллельны.

Обратим внимание на углы 1 и 2 – они являются односторонними при параллельных прямых а и b, и секущей с. Значит, сумма этих углов должна равняться 180 градусам по свойству параллельных прямых. Но угол 1 известен, так как а перпендикулярна с, то угол равен 90 по определению перпендикулярности.

📽️ Видео

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиом

28. Аксиома параллельных прямыхСкачать

28. Аксиома параллельных прямых

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 классСкачать

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 класс

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 Класс

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15

Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | Инфоурок

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости
Поделиться или сохранить к себе: