Ромб вершины которого лежат на окружностях (7 видео)

Что такое ромб: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Содержание

Определение ромба
Свойства ромба
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Признаки ромба
Любой ромб можно описать окружностью
Любой ромб можно описать окружностью
Описанная окружность
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Метод осевой симметрии
🎥 Видео

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Видео:Ромб. 8 класс.Скачать

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC );
половины диагоналей d₁ и d₂ – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Видео:Геометрия Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса R, две другие - наСкачать

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Видео:На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.Скачать

Любой ромб можно описать окружностью

Видео:№539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственноСкачать

Любой ромб можно описать окружностью

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Видео:ОГЭ 2020 задание 16Скачать

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: около АВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. АDС + АВС = 360 0 , тогда В + D = 360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE. (1)

Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE = ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD.

BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD + ВАD = 360 0 , тогда BАD + BСD360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что BАD + BСD180 0 . Но это противоречит условию BАD + BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 180 0 , откуда С = 180 0 — ( В + F). (2)

В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF. (3)

F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 180 0 , откуда F = 180 0 — ВFD = 180 0 — ВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

С = 180 0 — (ЕF + 180 0 — ВАD) = 180 0 — ЕF — 180 0 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD.

А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD). Но это противоречит условию А + С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

Метод осевой симметрии

Указание. Сначала рассмотреть случай, когда точки лежат по одну сторону от прямой, затем — по разные.

3.10. На данной прямой найти такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до данных двух точек была бы наименьшей.
3.11. Дана прямая и две точки А и В, расположенные по одну сторону от нее. Найти на прямой такую точку С, чтобы треугольник АВС имел наименьший периметр.
3.12. Даны угол и точка М, не принадлежащая углу. Провести прямую, которая содержала бы точку М и отсекала от сторон угла конгруэнтные отрезки.
3.13. На рис. П.2 изображен пруд, ширина АВ которого равна 10 м. Какую часть (в метрах) отражения в пруду фабричной трубы увидит наблюдатель, находящийся в точке S?

Рис. П.2

3.14. Точки А, В, С принадлежат внутренней области полосы с краями /j и /₂. Построить замкнутую ломаную AKBCLA наименьшей длины (К е 1_Ь L е Z₂).
3.15. Вписать в данный острый угол треугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины были на сторонах угла, а третья — в данной точке внутренней области угла.
3.16. Дан угол АВС и внутри него точка М <ZJKBC= 30°, ВМ = 10 см). Вписать в данный угол треугольник наименьшего периметра с вершиной в точке М и вычислить периметр этого треугольника.
3.17. Дан угол АОВ и внутри него точки М и К. Соединить эти точки ломаной линией наименьшей длины так, чтобы две ее вершины лежали на сторонах угла АОВ.
3.18. Даны выпуклая ломаная линия А₀А₁А₂. А_п и точки А и В, расположенные в той же полуплоскости с границей (A_n-jA_n), что и данная ломаная. Построить вписанную ломаную AB_XB₂. В,,В наименьшей длины (точки В_ь В₂. В_п лежат на звеньях данной ломаной линии).
3.19. Дан угол с вершиной в точке А и точка М, принадлежащая одной из его сторон. Найти на другой стороне этого угла такую точку Р, что сумма расстояний от точки Р до точек М и А равна длине данного отрезка.
3.20. Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей имела данную длину I и лежала на прямой а, а остальные две вершины — на прямых b и с.
3.21. На плоскости даны /АВС и прямая I. Построить квадрат так, чтобы две противоположные вершины квадрата принадлежали прямой I, а две другие — сторонам /АВС.
3.22. Даны прямые I, а и окружность ш. Построить квадрат так, чтобы две его противоположные вершины принадлежали прямой I, а две другие — прямой а и окружности со.
3.23. Даны две окружности и прямая между ними. Построить равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины были на окружностях, а одна из высот лежала на данной прямой.
3.24. Построить ромб так, чтобы одна его диагональ имела данную длину I и лежала на данной прямой, а две другие вершины ромба лежали соответственно на двух данных окружностях.
3.25. На плоскости даны прямые I, т и окружность со. Построить ромб ABCD так, чтобы его вершины А и С принадлежали прямой I, Вет, Dе со, /BAD — 60°.
3.26. Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
3.27. Построить четырехугольник ABCD по четырем его сторонам, если известно, что его диагональ АС делит /А пополам.
3.28. Построить треугольник по высоте, разности отрезков, на которые она делит основание, и разности углов, прилежащих к основанию.
3.29. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.
3.30. Даны /АВС, прямая / и точка О. Пусть X и Y — точки пересечения окружности с центром в точке О со сторонами АВ и ВС угла /АВС. Построить такую окружность с центром в точке О, чтобы XY || I.
3.31. Даны прямая MN и две точки А, В, не лежащие на ней. Найти на данной прямой такую точку Q, что /AQM = 2/BQN.
3.32. Даны прямая MN и две точки А, В по одну сторону от нее. Найти на прямой MN такую точку Q, что /AQM = 2/BQM.
3.33. Даны прямые тип, пересекающиеся в точке О, и точка А. Построить треугольник АВС, биссектрисы которого принадлежат прямым т, пи ОА.
3.34. Даны две прямые т, п, пересекающиеся в точке О, и точка Р. Построить такой треугольник АВС, сторона АВ которого проходит через точку Р, а прямые т,п и ОР — перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах.
3.35. Даны /АВС и внутри его точка Р. Построить треугольник наименьшего периметра, одна вершина которого совпадает с точкой Р, а две другие принадлежат сторонам данного угла.
3.36. Даны /MON и две точки А и В. Найти такие точки С и D на прямых ОМ и ON соответственно, чтобы ломаная ACDB имела наименьшую длину.
3.37. Точки А, В и С принадлежат внутренней области полосы с краями 1_Х и 1₂. Построить замкнутую ломаную AKBCLA наименьшей длины (Ке lj,Le у.
3.38. Даны ZAOB и внутри него точки М, К. Соединить эти точки ломаной наименьшей длины так, чтобы две ее вершины лежали на сторонах ZAOB.
3.39. Построить треугольник АВС по трем точкам Н_ь Н₂, Н₃, которые являются симметричными отражениями точек пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.