Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
значит, 
Приведем другое решение.
Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника 
Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
откуда 
Тогда по теореме синусов:
Приведем другое решение (Р. А., СПб.).
Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.
Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»
Урок №7. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»»
Тема: Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»
Задачи: продолжить формирование навыков решения задач по теме.
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.
Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.
Формулы нахождения радиуса вписанной r и описанной R около треугольника окружностей.
Для любого треугольника:
Для равностороннего треугольника.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике MKN боковые стороны равны 26, а основание – 20. В треугольник вписана окружность с радиусом ОЕ. Найти длину ОЕ.
Решение (краткое). Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник можно вычислить по стандартной формуле 
, где р – полупериметр.
Ответ: 
.
Задача 2. Прямоугольный треугольник KMN описан около окружности радиуса 13. Один из катетов треугольника равен 24. Найти периметр треугольника.
Решение (краткое). MN=d=2r=26, по теореме Пифагора KN=10, Р=60.
Задача 3. Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность, отрезок ОD=4. Найти площадь треугольника.
Решение (краткое). ОВ=5, ОС=ОВ=5, СD=9, S=0.5*9*6=27.
Задача 4. Прямоугольный треугольник описан около окружности. Точка D делит гипотенузу на две части, длинами по 10 и 24. Найти периметр треугольника.
Решение (краткое). DB=DK=10, AD=AM=24.
KOMC – квадрат, т.к. ОК перпендикулярен СВ, ОМ перпендикулярен АС и KC=CM, OK=OM=r.
Пусть KC=CM=х, тогда ВС=10+х, АС=24+х, АВ=24+10=34.
Классификация задач на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности
Разделы: Математика
Задачи на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности вызывают даже у сильных учащихся затруднения при их решении. Попытка провести классификацию этих задач по содержанию и методам решения привела к положительным результатам. Учащиеся полюбили этот тип задач. Хотим поделиться нашим опытом.
- Замечательное открытие: люди изобрели колесо.
- Окружность, описанная около треугольника.
- Окружность, вписанная в треугольник.
- Задачи на вписанные и описанные окружности.
На востоке от Аравийского полуострова с севера на юг текут две большие реки – Евфрат и Тигр. Между ними тянется узкая длинная полоса земли. В древности она называлась Месопотамией, что в переводе означает “ Междуречье’’. Самым известным государством Месопотамии был Вавилон. Земля в Междуречье плодородная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить дома. Всё это вавилонянам приходилось покупать у других народов. Поэтому Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. Торговля помогала науке. В математике вавилонские учёные добились больших успехов.
Около шести тысяч лет назад в Вавилоне было сделано замечательное открытие: люди изобрели колесо. Колесо? Что же тут замечательного? Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо, и на земле исчезли все колёса. Это было бы настоящей катастрофой! Остановятся автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток электростанции. Выходит, что неизвестный вавилонский изобретатель первого колеса действительно сделал великое открытие.
Вавилонские инженеры и мастера стали пользоваться блоками. Они поднимали и перетаскивали такие тяжести, справиться с которыми без колеса было бы не под силу. Колесо и рычаг стали первыми настоящими помощниками человека в работе с большими тяжестями.Так изобретение колеса сыграло очень большую роль в истории Вавилона.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат в окружности.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство: Рассмотрим произвольный В треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через О все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.
Вывод: Центр описанной около треугольника окружности лежит А С на пересечении серединных перпендикуляров и расположен:
а) в треугольнике, если он остроугольный;
б) на середине гипотенузы, если он прямоугольный;
в) вне треугольника, если он тупоугольный.
Рассмотрим задачи на нахождение радиуса описанной около треугольника окружности. (См. Приложение1.)
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим М буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры А К В ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.
Так как точка О равноудалена A k B от сторон треугольника АВС то ОК = ОL=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.
Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.
Выводы. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Касательная к окружности (стороны треугольника) перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Рассмотрим задачи на нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности.
Задачи на вписанную и описанную окружность. (См. Приложение 3.)