Решение задач по геометрии 7 класс треугольники в окружности (7 видео)

Решение задач по геометрии 7 класс треугольники в окружности

Наглядная геометрия 7 класс. Ключевые задачи по теме Треугольники

Содержание

Запомните!
Простые вопросы по теме «Треугольники»
Непростые вопросы по теме «Треугольники»
Ответы на простые и непростые вопросы
Урок геометрии в 7 классе по теме «Решение задач по теме «Треугольники»
Геометрия. 7 класс
🔍 Видео

Запомните!

1. Признаки равенства треугольников.

1-й. По двум сторонам и углу между ними.
2-й. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3-й. По трем сторонам.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3. Обратная теорема.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

4. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают.

5. Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

а) высота является и медианой;
б) высота является и биссектрисой;
в) биссектриса является и медианой.

6. Теорема о свойстве точек серединного перпендикуляра.

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

7. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности.

Простые вопросы по теме «Треугольники»

В треугольнике провели медиану. Сколько треугольников изображено на рисунке?
Если стороны треугольника продлить, то сколько углов всего образуется, не считая развернутых? А считая и развернутые?
Верно ли, что биссектриса треугольника лежит на биссектрисе угла?
Может ли высота треугольника делить сторону пополам?
Может ли биссектриса треугольника быть перпендикулярной стороне треугольника?
Верно ли утверждение: «Биссектриса равнобедренного треугольника является высотой и медианой»?
Является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним?
Является ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?
Может ли биссектриса некоторого равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, быть медианой?
Может ли высота треугольника быть равна его медиане, проведенной из той же вершины?
Может ли биссектриса треугольника быть равна его высоте, проведенной из той же вершины?
Существует ли треугольник, периметр которого в 3 раза больше одной из сторон?
Если медиана образует равные углы с соседними сторонами треугольника, то какой угол она образует с третьей стороной?
Что для студентов означает слово «медиум»?
Сколько всего теорем в данной теме?

Непростые вопросы по теме «Треугольники»

16* В треугольнике провели 2 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
17* В треугольнике провели 3 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
18* Может ли в треугольнике высота являться медианой, но не являться биссектрисой?
19* Как звучит теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника в форме «Если …, то …»?
20* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, в форме «Если …, то …»?
21* Может ли медиана треугольника равняться соседней стороне?
22* Может ли биссектриса треугольника равняться соседней стороне?
23* Может ли высота треугольника равняться соседней стороне?
24* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника иметь общую точку с каждой из двух других сторон?
25* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника делить противоположный угол треугольника пополам?

Ответы на простые и непростые вопросы

Три. Два маленьких и один данный.
12; 24.
Да.
Да. В равнобедренном треугольнике.
Да. В равнобедренном треугольнике.
Нет. Только биссектриса, проведенная из вершины к основанию.
Нет.
Да.
Да. Если треугольник равносторонний.
Да. В равнобедренном треугольнике это высота, проведенная к его основанию.
Да. В равнобедренном треугольнике это биссектриса, проведенная к его основанию.
Да. Например, равносторонний.
90°. Если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный и эта медиана является и высотой, проведенной к основанию.
Медиум — студенческий праздник, знаменующий середину учебы.
Тринадцать теорем, включая задачу о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

16* 8.
17* 16.
18* Нет. Если высота является медианой, то треугольник равнобедренный и эта высота является и биссектрисой.
19* «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». 20* «Если у треугольника два угла равны, то треугольник равнобедренный».
21* Да.
22* Да.
23* Да. В прямоугольном треугольнике.
24* Да. В равнобедренном прямоугольном треугольнике.
25* Да. Если треугольник равнобедренный.

Это конспект по геометрии «Ключевые задачи по теме Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Урок геометрии в 7 классе по теме «Решение задач по теме «Треугольники»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Решение задач по теме «Треугольники»

Учитель математики Климочкина Г.Н.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Цели : повторить и закрепить материал, изученный в главе “Треугольники”;

учить учащихся применять признаки равенства треугольников при решении задач;

развивать логическое мышление, тренировать геометрическую зоркость, пространственное воображение.

1. Организационный момент .

Здравствуйте, ребята, начинаем наш урок геометрии. Первый год вы изучаете этот предмет и уже знаете, что предметом изучения геометрии является решение задач на основе изученных определений, свойств и теорем.

Известный педагог Д. Пойа сравнивал умение решать задачи с умением научиться плавать (цитата).

2. Постановка учебной проблемы. Актуализация опорных знаний.

Все вы слышали о Бермудском треугольнике, в котором исчезают корабли и самолеты. А ведь знакомый нам с детства треугольник тоже таит в себе немало интересного и загадочного. Сегодня на уроке мы будем повторять изученный материал, связанный с понятием «Треугольник», и каждый раз удивляться полученным открытиям.

Как вы думаете, на какие вопросы вы должны знать ответ, изучая тему «Треугольники»?

Учащиеся ставят проблемные вопросы и отвечают на них:

Что называется треугольником?

Сколько элементов содержит треугольник?

Какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника?

Какие виды треугольников бывают? (по углам и сторонам)

Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним?

Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник?

Какие треугольники называются равными и как формулируются признаки равенства треугольников?

Учитель: Что является важным при решении задач?

Ученики: Знание определений и теорем.

Учитель: Кроме этого, мы должны определить сферы практического использования знаний по данной теме.

3. Проверка домашнего задания происходит во время устной работы.

Один из учеников выходит к доске и записывает решение задачи № 157 с рисунком.

Другой ученик выходит к доске и записывает решение задачи № 171 с рисунком.

Этап проверки домашнего задания демонстрирует умение учащихся оформлять решение задачи и выполнять чертежи

4. Устное решение задач по готовым чертежам.

1. Найти равные треугольники и обосновать их равенство.

2. На рисунке даны две окружности с общим центром О и равные отрезки АВ и СD. Какие пары точек достаточно соединить, чтобы получились равные треугольники?

5. Решение задач с оформлением в тетради.

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Дано : MO = N О , AM = DN, AB = D С , BMO = CNO

CN = 5 дм , OCN = 80˚

Доказать : Δ ABM = Δ DCN

Найти : BM, OBM.

№ 2.

Дано : MK = N К , OK MN, BMO = CNO.
Доказать: Δ MBO = Δ NCO .

Дано: MO = N О, BMO = CNO .
Доказать: Δ BOC – равнобедренный.

∆ АВС — равнобедренный. Р _АВС = 40см. Сторона АВ в 2 раза длиннее стороны АС. Найдите длины сторон треугольника.

1. Вдох-выдох, потянулись.

2. Руки вверх, поработали пальчиками — составить различные треугольники.

3. Левой рукой нарисовать в воздухе треугольник, затем — правой, и — обеими.

4. Нарисовать на полу треугольник каждой ногой.

5. Стряхнули усталость с рук, ног. Сели.

7. Самостоятельное решение задач.

1. Найдите на рисунках, приведённых ниже, треугольники, равные по первому, второму и третьему признакам равенства треугольников. Укажите номера этих треугольников в ответе.

1) по двум сторонам и углу между ними:

2) по стороне и прилежащим к ней углам:

3) по трём сторонам:

По двум сторонам и углу между ними: 2,8,9,13.

По стороне и прилежащим к ней углам: 3,12,14.

По трём сторонам: 1,10,11.

2. Тест «Верно – неверно»

1. Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника? (нет)

2. Верно ли, что медиана равнобедренного треугольника проведенного к основанию, является высотой? (да)

3. Верно ли, что если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны? (нет)

4. Верно ли, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, называется медианой треугольника? (нет)

5. Верно ли, что в равностороннем треугольнике все медианы, биссектрисы, высоты пересекаются в одной точке? (да)

6. Верно ли, что в треугольнике углы при основании равны? (нет)

7. Верно ли, что если три угла одного треугольника равны трем угла другого треугольника, то такие треугольники равны? (нет)

8. Верно ли, что если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны? (нет)

9. Верно ли, что в равнобедренном треугольнике две медианы равны? (да)

10. Верно ли, что если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным? (да)

Давайте подведем итог нашего сегодняшнего урока.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
Решение задач на построение.
Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Окр. (A; r) ∩ AB = B.
Окр. (A; r) ∩ AC = C.
Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р_∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.