О чем эта статья:
- Центральный угол и вписанный угол
- Свойства центральных и вписанных углов
- Примеры решения задач
- Решение задач на тему углы вписанные в окружность
- Урок математики по теме «Углы, вписанные в окружность». 9-й класс
- Презентация к уроку
- Ход урока
- I. Организационный момент.
- II. Устный счет.
- III. Проверка домашнего задания.
- IV. Решение задач
- V. Домашнее задание.
- VI. Самостоятельная работа на карточках по готовым чертежам.
- 📽️ Видео
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Решение задач на тему углы вписанные в окружность
Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.
Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.
Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.
Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.
Приведем решение Артура Ахметьянова.
Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда
Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
Урок математики по теме «Углы, вписанные в окружность». 9-й класс
Класс: 9
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (109 кБ)
Цели и задачи:
- знать определения вписанного и центрального углов, знать теорему о вписанном угле, уметь решать задачи нахождение вписанных, центральных углов и дуг на которые опираются эти углы;
- формирование пространственного мышления;
- воспитание самостоятельности.
Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Ход урока
I. Организационный момент.
На прошлом уроке мы познакомились с понятиями вписанного угла и центрального угла, с теоремой о вписанном угле. Сегодня мы будем применять эти знания для решения задач.
II. Устный счет.
слайд 1.
- Закончите предложение.
- Центральный угол – это… (угол с вершиной в центре окружности).
- Градусная мера дуги – это… (градусная мера соответствующего центрального угла).
- Угол, вписанный в окружность, – это…(угол, вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают ее).
- Угол, вписанный в окружность, равен…(половине соответствующего центрального угла).
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу…(равны)
- Вписанные углы, опирающиеся на диаметр. (прямые).
- На доске на рисунке показать и назвать углы и дуги, на которые эти углы опираются.
Рисунок 1.
- центральный угол, ответ: ∠АОD, ∠АОВ, ∠ВОD, ∠КОD, ∠ВОК, ∠АОК.
- вписанный угол, ответ: ∠ВКD, ∠АDК, ∠ВАD
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, ответ: ∠ВКD и ∠ВАD
III. Проверка домашнего задания.
Проверить и разобрать решение задач №71 и №72 из рабочей тетради к учебнику геометрии.
слайд 2.
№71. Начертите окружность и проведите ее радиусы ОА, ОВ и ОС так, чтобы углы АОВ, ВОС и СОА были равны. Вычислите градусные меры образовавшихся дуг АВ, ВС и СА.
Устно разобрать, чему равны градусные меры получившихся дуг.
АВ=ВС= АС =120°.
№77. Точки М, К и Р делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 3, 2 и 7 (считая от точки М к точке К). Вычислите градусные меры углов треугольника МКР.
В рабочей тетради в решении дается подсказка: принимаем градусные меры дуг за 3х°, 2х° и __, что подставили? (7х°).
Так как сумма их градусных мер равна 360°, составим уравнение ____________
Какое уравнение получили?
Проверили решение уравнения.
МК=3х=90, РК=2х=60, МР=7х=210
Используя свойство вписанных углов, находим величины углов треугольника МКР:
IV. Решение задач
1. Задачи по чертежам. слайд 3:
- Решите задачи устно найдите х:
Разобрать, почему в задаче 1 x= 60°, а в задаче 2 x = 80°.
На основании какого свойства? ( свойство вписанного угла: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла).
Постройте в тетради четыре одинаковых окружности.
- Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 3 и 4. Презентация слайд 4. См. рисунок 3, найдите х.
Решение задачи 3: 360° – 80° = 280°,
Решение задачи 4: 360° – 110° = 250°,
- Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 5 и 6. слайд 5. См. рисунок 4 найдите х.
Решение задачи 5: ∠С = 90°,
Какое свойство вписанного угла применяем?
(Вписанные углы, опирающиеся на диаметр прямые)
Решение задачи 6: в треугольнике АВD∠В = 90°, ∠CВD =30° + 90° = 120°.
2) Задача №79 в рабочей тетради.
Около равнобедренного треугольника АВС описана окружность. Его основание АС стягивает дугу, градусная мера которой равна 140°. Вычислите градусные меры всех углов треугольника АВС.
В рабочей тетради построили чертеж к задаче Рисунок 7.
Какой угол треугольника АВС можно найти?
Можно найти ∠B, т.к. это вписанный угол, который опирается на дугу АС.
Какое свойство равнобедренного треугольника можно применить?
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: ∠В = 70°, ∠А = ∠С = 55°.
V. Домашнее задание.
П.107, повторить теорию по теме «Углы, вписанные в окружность»
Решить задачи №80, 82 в рабочей тетради.
VI. Самостоятельная работа на карточках по готовым чертежам.
Учащиеся получают карточки с заданиями. См. рисунок 5.
📽️ Видео
8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 1Скачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углыСкачать
Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)Скачать
Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Решение задач по теме "Вписанные и центральные углы"Скачать
Вписанные углы в окружностиСкачать
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать