Огэ треугольники параллелограмм и ромб (4 видео)

Задание №18 ОГЭ по математике

Содержание

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Теория к заданию №18
Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Второй вариант задания
Третий вариант задания
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
Четвертый вариант задания
Пятый вариант задания
Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
Определение четырехугольника
Выпуклые четырехугольники
Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Примеры решений заданий из ОГЭ
Подготовка к ОГЭ. Теория по теме «Четырехугольники.»
Содержимое публикации
Всероссийский конкурс профессионального мастерства «ЛУЧШИЕ ЛОГОПЕДИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ: идеи и опыт »
Международный конкурс детского рисунка «ЯРКИЙ МИР » (свободная тема)
Всероссийский конкурс детско-юношеского творчества «ЖИВОТНЫЙ МИР »
💡 Видео

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

В 18 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить
заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 16 является целое число или конечная десятичная дробь.

Теория к заданию №18

Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

Правильный многоугольник:

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника:

Разберем пример четырехугольника — ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали являются биссектрисами углов.

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.

Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Второй вариант задания

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основаниям равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Третий вариант задания

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение:

Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это

«полусумма оснований умноженная на высоту»

Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:

Верхнее основание равно 7
Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
Высота равна 12

Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см²

Четвертый вариант задания

Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба будем искать по формуле:

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а.

Найдем h. Для этого рассмотрим ∆ОКС и ∆АРС:

Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2.

Пятый вариант задания

Найдите величину острого угла параллелограмма АВСD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 41 0 . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Т.к. АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х.

Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=180 0 . Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=180 0 –2х.

По теореме о сумме углов треуг-ка ∠ВАК+∠В+∠ВКА=180 0 .

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Выпуклые четырехугольники

Параллелограмм

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Видео:Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnlineСкачать

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Геометрия. Многоугольники/Длины. Параллелограмм и ромб. Тренажёр ОГЭ.Скачать

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:ОГЭ Задание 25 Площадь ромба и параллелограммаСкачать

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Про параллелограмм, который ромбСкачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Видео:Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подготовка к ОГЭ. Теория по теме «Четырехугольники.»

Содержимое публикации

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

P = 4a – периметр

– сторона ч/з периметр

S = a 2 – площадь ч/з сторону

– площадь ч/з диагональ

1) противоложные стороны равны;

2) противолежные углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) диагонали равны;

5) диагонали взаимно перпендикулярны;

6) диагонали делят углы пополам

Прямоугольник – этопараллелограмм, у которого все углы прямые.

S = a b — площадь

,  — угол м/у диагоналями

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;

5) диагонали равны.

Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.

Если в параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 180 — это прямоугольник.

В четырехугольнике, в котором три угла прямые – прямоугольник.

Если биссектриса прямоугольника делит пополам сторону, которую она пересекает, то одна из сторон прямоугольника в два раза больше другой его стороны.

Если все углы четырехугольника равны – это прямоугольник.

Если в четырехугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – прямоугольник.

Параллелограмм – это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180.

1) Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3) Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

4) Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон равна 180, то этот четырехугольник — параллелограмм.

5) Если противоположные углы четырехугольника равны, то такой четырехугольник – параллелограмм

Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам.

Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны

Биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.

Чтобы установить, что четырехугольник – параллелограмм, докажите, что в нем:

ЛИБО 1) противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма);

2) противоположные стороны попарно равны (признак);

3) две противоположные стороны равны и параллельны (признак);

4) диагонали точкой их пересечения делятся пополам (признак).

Для того, чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него:

ЛИБО 1) все его углы прямые (определение прямоугольника);

2) диагонали равны (признак).

Для утверждения, что четырехугольник является прямоугольником, докажите, что:

ЛИБО 1) этот четырехугольник – параллелограмм, а параллелограмм — прямоугольник;

2) три угла четырехугольника – прямые.

P = 4a – периметр

Ромб – это параллелограмм, в котором все стороны равны.

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;

5) диагонали взаимно перпендикулярны;

6) диагонали делят углы пополам.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Диагональ ромба разделяет его на два равных треугольника.

Диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольника.

Ромб, в котором один угол nрямой, — квадрат

Четырёхугольник, все стороны которого равны, является ромбом.

Параллелограмм, диагонали которого делят углы пополам, — ромб.

Чтобы установить, что данный параплелограмм — ромб, докажите, что в нем:

ЛИБО 1) все стороны равны (определение ромба);

2) диагонали взаимно перпендикулярны (признак);

ТРАПЕЦИЯ

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

a, b – основания трапеции

m – средняя линия

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Свойство средней линии трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (или один угол равен 90)

Сумма градусных мер двух углов трапеции. Прилежащих к боквой стороне, равна 180.

РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой боковые стороны равны.

углы при основании равны;

диагонали равнобедренной трапеции равны.

диагонали образуют с ее основанием равные углы

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, — биссектриса угла, прилежащего к большему основанию.

Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

В равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна 180

Если в трапеции сумма противополжных углов равна 180, то трапеция равнобедренная

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительне построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне, и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.