В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:
- Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
- Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
- Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
- Главное свойство числовой окружности
- Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
- Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
- Урок «Числовая окружность»
- Единичная числовая окружность на координатной плоскости
- п.1. Понятие тригонометрии
- п.2. Числовая окружность
- п.3. Градусная и радианная мера угла
- п.4. Свойства точки на числовой окружности
- п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
- п.6. Примеры
- 💡 Видео
Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.
Видео:Точки на числовой окружностиСкачать
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Такая вот математическая полигамия.
И следствие из этого правила:
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .
В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .
Что надо запомнить про числовую окружность:
Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Урок «Числовая окружность»
Краткое описание документа:
Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.
Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.
Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.
Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
Видео:Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.Скачать
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
п.1. Понятие тригонометрии
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
 | Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным . |
| Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |  |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
 | Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$ |
| 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
| (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (pi) | (frac) | (2pi) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
 | Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t Например: |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |  |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end |  |
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
| Числовой промежуток | Соответствующая дуга числовой окружности |
| Отрезок | |
$$ -frac lt t lt frac $$  а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$ |  |
| Интервал | |
$$ -frac leq t leq frac $$  а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$ |  |
| Полуинтервал | |
$$ -frac leq t ltfrac $$  а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$ |  |
п.6. Примеры
Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end
Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).
| Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end |  |
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).
| Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end |  |
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
 | Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end |
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.
Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.
| $$ frac $$ | $$ -frac+2pi k $$ |
 Четыре базовых точки, через каждые 90° |  Две базовых точки, через каждые 180° |
| $$ frac+frac $$ | $$ -frac $$ |
 Три базовых точки, через каждые 120° |  Пять базовых точек, через каждые 72° |
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.
💡 Видео
Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
Соответствие чисел точкам числовой окружностиСкачать
№ 4.6- Алгебра 10-11 класс МордковичСкачать
Отбор корней по окружностиСкачать
Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Отбор корней по окружностиСкачать
Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать
Изобразить на единичной окружности точку.Скачать
Выборка с помощью окружностиСкачать
Coordinates on Circle - Координаты точек окружностиСкачать
Найти центр и радиус окружностиСкачать
Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать
Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать
№964. На окружности, заданной уравнением (x-3)2 + + (y-5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3;Скачать
начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.Скачать
