Равносторонний треугольник вписан в окружность радиус 4 найти площадь

Решение:
Можно найти площадь без формулы радиуса вписанной окружности через сторону равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике высота , медиана. биссектриса, делятся в точке пересечения в отношении 2:1. Из рисунка понятно, что треугольник АВС состоит из шести прямоугольных треугольников, которые равны по катету(R) и гипотенузе(АО=ВО=СО). Тогда площадь АВС равна сумме шести треугольников

Площадь равностороннего треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь равностороннего треугольника. Для нахождения площади равностороннего треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Пусть в равносторннем треугольнике известна сторона a (a=b=c) (Рис.1):

Найдем площадь треугольника. Поскольку в треугольнике напротив равных сторон расположенные равные углы (см. статью Соотношения между сторонами и углами треугольника), то в равносторннем треугольнике все углы равны. Но сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно все три угла равностороннего треугольника равны 60°. Для треугольника ABH применим теорему синусов:

.

Учитывая, что , получим:

.

(1)

Площадь треугольника по основанию и высоте имеет следующий вид:

.

(2)

Подставляя (1) в (2), получим:

(3)

Пример 1. Сторона равностороннего треугольника равна a=5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значение a=5 в (3), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Пусть в равностороннем треугольнике известна высота h (Рис.1). Найдем площадь треугольника.

Найдем из формулы (1) a и подставим в (2):

(4)

Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна h=6.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя значение h=6.5 в (4), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус вписанной окружности r (Рис.2):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 2 равносторонний треугольник разделен га 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (см. статью Прямоугольный треугольник). Тогда:

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

(5)

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

.

(6)

Найдем a из формулы (6):

,

.

(7)

Подставляя (7) в (5), получим:

.

(8)

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.

.

(9)

Пример 3. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равна r=7.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (9). Подставляя значение r=7.5 в (9), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус описанной окружности R (Рис.3):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 3 равносторонний треугольник разделен на 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе. Тогда:

, ,

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

(10)

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

,

.

(11)

Еще раз применим теорему синусов для треугольника OBE :

.

.

(12)

Подставляя (11) и (12) в (10), получим:

.

(13)

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.

.

(14)

Пример 4. Радиус oписанной окружности равностороннего треугольника равна R=11.2. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (14). Подставляя значение R=11.2 в (14), получим:

Ответ:

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.