Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами ($$alpha, beta, gamma$$), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
Правильный треугольник или равносторонний треугольник — правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или $$frac$$).
Пусть t — сторона правильного треугольника, R— радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$r = frac<sqrt>cdot t$$.
Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$R = frac<sqrt>cdot t$$.
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Найти третью точку правильного треугольника?
Логика у вас правильная — взять середину отрезка AB и отложить от него перпендикуляр длинной sqrt(3)/2*d.
Но не надо искать углы, вектор перпендикуляр находится тривиально — это (Можно доказать перпендикулярность через скалярное произведение, например). Более того, длина этого вектора будет уже d (это ведь повернутый на 90 градусов вектор по стороне треугольника). Значит его остается тупо домножить на sqrt(3)/2.
Таким образом формула x3 = (x1+x2)/2 +sqrt(3)/2*(y2-y1).
Зная координаты точки 1(x1,y1) и координаты точки 2(x2,y2) найти третью точку(x3,y3) правильного треугольника со стороной d.
Безграмотная формулировка. Не точки, а вершины. d вообще лишнее.
Если A(x1,y1), B(x2,y2), то третья вершина C(x3,y3) находится поворотом вершины B вокруг A на 60 градусов по часовой и против часовой стрелки.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD= FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника, если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = frac ab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известныдве стороны, ни одна из них не является основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
Высота треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен сторона и синус угла прилежащего к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности и две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать
Свойства
Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность, можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и треугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле Герона.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник, которые изображены на рисунке 2.
окружность описана около треугольника.
Проведем серединные перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — около треугольника описана окружность — O, от центра окружности к вершинам можно провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника, что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, в котором все серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать
Координаты равностороннего треугольника вписанного в окружность
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами ($$alpha, beta, gamma$$), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
Правильный треугольник или равносторонний треугольник — правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или $$frac $$).
Пусть t — сторона правильного треугольника, R— радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$r = frac > cdot t$$.
Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$R = frac > cdot t$$.
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
