Равнобедренный треугольник примеры задач

Равнобедренный треугольник — треугольнику которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника были известны с давних времен. Еще древние вавилоняне (II в. до н.э.) знали, что углы у основания равнобедренного треугольника равны. Любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

Признаки равнобедренного треугольника:
Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный:
— два угла равны,
— высота и медиана совпадают,
— высота и биссектриса совпадают,
— медиана и биссектриса совпадают,
— две медианы равны,
— две высоты равны,
— две биссектрисы равны.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:

Задача № 1. Дано: ΔABC — равносторонний, ΔADC — равнобедренный (AD=CD), AC — общая сторона, BC = 8 см, P_ADC > P_ABC в 1,5 раза. Найти: CD.

Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AD — медиана, AB + BD = 27 см, AC + CD = 21 см. Найти: AB, BC, AC.

Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, ∠1 = 130°. Найти: ∠2.

Теоретический тест
с последующей самопроверкой

1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
   а) всегда верно;
   б) может быть верно;
   в) всегда неверно.
2. Если треугольник равносторонний, то:
   а) он равнобедренный;
   б) все его углы равны;
   в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
   а) в любом;
   б) в равнобедренном;
   в) в равностороннем.
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
   а) всегда верно;
   б) может быть верно;
   в) всегда неверно.
5. Если треугольник равнобедренный, то:
   а) он равносторонний;
   б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
   в) два его угла равны.
6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
   а) в любом;
   б) в равнобедренном;
   в) в равностороннем.
7. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является:
   а) равносторонним;
   б) равнобедренным;
   в) прямоугольным.
8. Если в треугольнике две стороны равны, то:
   а) у него равны два угла;
   б) у него все углы равны;
   в) этот треугольник равносторонний.

1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: б) может быть верно.
2. Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? б) в равнобедренном.
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно.
5. Если треугольник равнобедренный, то: в) два его угла равны.
6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? в) в равностороннем.
7. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является: б) равнобедренным.
8. Если в треугольнике две стороны равны, то: а) у него равны два угла.

Вы смотрели конспект по теме «Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ по теме». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"Скачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Равнобедренный треугольник. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Разработка урока по геометрии на тему «Равнобедренный треугольник Решение задач» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Равнобедренный треугольник Решение задач.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

«Равнобедренный треугольник. Решение задач»,

геометрия, 7 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

2018 – 2019 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Тема – « Равнобедренный треугольник. Решение задач »

Геометрия, 7-9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян и др., — М.: Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010

совершенствовать навыки решения задач по теме « Равнобедренный треугольник» .

совершенствовать навыки решения задач на применение свойств равнобедренного треугольника;

обобщить и проконтролировать знания по изученной теме;

учить детей применять полученные теоретические знания на практике.

уметь выполнять анализ задачи и обобщать;

формировать интерес к предмету математики;

развивать логическое мышление, память, внимание, познавательные и математические способности, расширять кругозор;

развивать умение обосновывать свое решение.

воспитывать уважительное отношение к ответам учеников;

умение высказывать свое мнение, умение логично выстраивать свои ответы;

воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока : комбинированный.

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

I . Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать его цели (слайд №1).

II. Повторение изученного материала

1) Проверка домашнего задания. Два ученика на доске оформляют решение № 107 и № 112 из домашней работы.

Дано: Δ АВС — равнобедренный, АС — основание, АВ = 2АС , Р _ΔАВС = 50 см . Найти : АВ; ВС; АС.

1) Δ АВС — равнобедренный, отсюда АВ = ВС .

2) Пусть АС = х , тогда АВ = ВС = 2х.

х = 10 = > АС = 10 см , АВ = ВС = 20 см.

Ответ: 10 см, 20 см, 20 см.

1) АВ = ВС = > Δ АВС — равнобедренный = > ∠ВАС = ∠ВСА.

1. Треугольник называется равнобедренным, если …

2. Равные стороны равнобедренного треугольника называются …

3. Третья сторона называется …

4. В ΔAMK боковыми будут стороны …,

5. Если Р ΔAMK = 15 см, а основание 3 см, то боковые стороны равны …

6. В равнобедренном треугольнике углы при …

7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является …

8. Если в треугольнике все стороны равны, то он называется …

2) Остальные учащиеся в это время выполняют тест. После выполнения

взаимопроверка по готовым ответам (слайд №2).

1) Устное решение задач по готовым чертежам (слайды №3 — 6).

2) Решить задачу № 120 письменно с полным оформлением на доске и в тетрадях.

Дано: Δ АВС — равнобедренный, АС — основание, BD — медиана,

= > Δ BDE = ΔBDF (по двум сторонам и углу между ними) = > DE = DF .

А D = С D , так как BD — медиана , DE = DF (доказали), ∠ А = ∠ С (по свойству равнобедренного треугольника) = > ΔА DE = Δ С DF (по двум сторонам и углу между ними).

IV . Самостоятельное решение задач .

Работают самостоятельно (по необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте). Два человека работают на откидной доске. После окончания работы проверка .

1) Дано: D — середина АС,

Доказать: ΔАВС — равнобедренный.

2) Дано: ΔАВС — равнобедренный, ВО — биссектриса.

Доказать: ΔАВО = ΔСВО.

Работают самостоятельно. При необходимости учитель даёт консультации. Затем устно рассказывают решение задач (слайды №7 — 8).

1) Дано: АВ = ВС,1=2.

Доказать: ΔА D С — равнобедренный.

2) Дано: ΔАВС — равнобедренный, АС — основание, АО и СО — высоты Δ АВС.

Доказать: ΔАОС — равнобедренный.

V . Подведение итогов урока.

-Что мы повторили на уроке?

— Какие свойства равнобедренного треугольника мы применяли?

— Какие этапы урока вам понравились больше?

— Какие выводы вы сделали из урока?

Решить задачи № 117, 118, 119.

Выбранный для просмотра документ Равноб. треуг Решение задач.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Равнобедренный треугольник Геометрия 7 класс. Решение задач

Ответы к тесту 1. Треугольник называется равнобедренным, если …его боковые стороны равны 2. Равные стороны равнобедренного треугольника называются …боковыми сторонами 3. Третья сторона называется …основанием 4 ВΔАМК боковыми будут стороны …АКиКМ, основанием…АМ. 5. Если РΔAMK= 15 см, а основание 3 см, то боковые стороны равны …6 см. 6. В равнобедренном треугольнике углы при …основании равны. 7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является …медианой и высотой. 8. Если в треугольнике все стороны равны, то он называется …равносторонним.

В А С Подсказка D Необходимо доказать равенство треугольников AВD и СBD. № 1. Дано: Доказать:

№ 2. E Ответ: 8 см, 86°, 90°. D K Подсказка (2) 430 F Св-ва равнобедренного треугольника Биссектриса угла? 16 см Дано: Найти:

№ 3. B Ответ: 153°. D N Подсказка (3) 270 Дано: АВ = ВС, ∠MAN = 27°. Найти: ∠DCB C Св-ва вертикальных углов Св-ва равнобедренного треугольника M A Св-ва вмежных углов

В Ответ: 18 см. А С Подсказка (3) Что следует из определения равнобедренного треугольника? 15см Что называют периметром треугольника? 15см № 4. Дано: Найти основание

№ 1. II уровень. Дано: Доказать:

Дано: ΔАВС — равнобедренный, АС — основание, АО и СО — высоты ΔАВС. Доказать: ΔАОС — равнобедренный. № 2. II уровень.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 678 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 305 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Решение задач ( Равнобедренный треугольник) 7 классСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 519 635 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

18. Свойства равнобедренного треугольника

Другие материалы

• 05.12.2018
• 856
• 0

• 29.11.2018
• 527
• 11

• 25.11.2018
• 916
• 35

• 11.11.2018
• 402
• 2

• 11.11.2018
• 302
• 0

• 05.11.2018
• 2283
• 45

• 04.11.2018
• 1942
• 21

• 04.11.2018
• 2918
• 35

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.12.2018 9905
• RAR 2.5 мбайт
• 762 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Борисова Алла Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 288092
• Всего материалов: 111

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Учимся решать задачи по геометрии. Равнобедренный треугольникСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки запускает конкурс студенческих научных обществ

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки учредит стипендию для студентов — победителей международных олимпиад

Время чтения: 1 минута

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎦 Видео

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. Решение задач.Скачать

7 класс. Геометрия. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Решение задачи. Урок #6Скачать

Круги Эйлера. Логическая задача на множества. Иностранные языкиСкачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Этой задачей русские дети 10 лет мучили американцев. Американцы не понимали, что делают не такСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Сложная вероятность в ЕГЭ задача №5 профиль. Теоремы теории вероятностейСкачать

Равнобедренный треугольник. Решение задач.Скачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК». Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать