Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Параллелограмм: свойства и признаки

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

О чем эта статья:

Содержание
  1. Определение параллелограмма
  2. Свойства параллелограмма
  3. Признаки параллелограмма
  4. Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения
  5. Определение параллелограмма
  6. Свойства параллелограмма
  7. Пример №1
  8. Пример №2
  9. Признаки параллелограмма
  10. Пример №3
  11. Необходимые и достаточные условия
  12. Виды параллелограммов
  13. Прямоугольник
  14. Квадрат
  15. Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения
  16. Трапеция
  17. Частные случаи трапеций
  18. Пример №4
  19. Построение параллелограммов и трапеций
  20. Пример №5
  21. Пример №6
  22. Теорема Фалеса
  23. Пример №7
  24. Средняя линия треугольника
  25. Средняя линия трапеции
  26. Пример №8
  27. Вписанные углы
  28. Градусная мера дуги
  29. Вписанный угол
  30. Пример №9
  31. Следствия теоремы о вписанном угле
  32. Пример №10
  33. Вписанные четырехугольники
  34. Описанные четырехугольники
  35. Пример №11
  36. Геометрические софизмы
  37. Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности
  38. Пример №12
  39. Пример №13
  40. Замечательные точки треугольника
  41. Точка пересечения медиан
  42. Пример №14
  43. Точка пересечения высот
  44. Справочный материал по параллелограмму
  45. Параллелограмм
  46. 💥 Видео

Видео:Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограммаСкачать

Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограмма

Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— соседние для стороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа сторона Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— противолежащая стороне Как доказать что прямые параллельны в параллелограммевершины Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— соседние с вершиной Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа вершина Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— противолежащая вершине Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеили Как доказать что прямые параллельны в параллелограммено нельзя обозначать Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 2) диагоналями являются отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеэти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямые Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепроходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепри вершине Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме называется угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

В данном четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепроведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесумма углов четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравна сумме всех углов треугольников Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето есть равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТеорема доказана.

Пример:

Углы четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесоседние с углом Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравны, а противолежащий угол в два раза больше угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(см. рис. 1). Найдите угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеесли Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Углами, соседними с углом Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа углом, противолежащим к Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо условию задачи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку сумма углов четырехугольника равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЕсли градусная мера угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето градусная мера угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо условию равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОтсюда имеем: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев котором Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пример:

На рисунке 8 Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеДокажите, что четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Из равенства треугольников Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеследует равенство углов: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеУглы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеАналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо признаку параллельности прямых имеем: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепротиволежащие стороны попарно параллельны, т.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

  1. противолежащие стороны равны;
  2. противолежащие углы равны;
  3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедиагональ Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 11) и рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

У них сторона Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— общая, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеА поскольку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедиагонали Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекоторые пересекаются в точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 12).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеУ них Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо доказанному, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо второму признаку. Отсюда следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет. е. точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляется серединой каждой из диагоналей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТеорема доказана полностью.

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеНайдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по свойству углов параллелограмма Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСумма всех углов параллелограмма равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепоэтому Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пример №2

В параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммебиссектриса угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделит сторону Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепополам. Найдите периметр параллелограмма, если Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Пусть в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммебиссектриса угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепересекает сторону Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 13). Заметим, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепоскольку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— биссектриса угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОтсюда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— равнобедренный с основанием Как доказать что прямые параллельны в параллелограммезначит, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо условию Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

  1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1) Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 15).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем диагональ Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОни имеют общую сторону Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо условию, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по признаку параллельности прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТаким образом, в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепротиволежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 16).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Снова проведем диагональ Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ этом случае они равны по третьему признаку: сторона Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— общая, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо признаку параллельности прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограмместороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедиагонали пересекаются в точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 17). Рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЭти треугольники равны по первому признаку: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак вертикальные, а Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм по признаку 1.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема доказана полностью.

Пример №3

В параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середины сторон Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесоответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме—параллелограмм.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСтороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак половины равных сторон Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллелограмма Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТаким образом, в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедве стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеутверждение Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляется достаточным условием для утверждения Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа утверждение Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— необходимым условием для утверждения Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСхематически это можно представить так:

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес диагоналями Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 29). Треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямоугольные и равны по двум катетам Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— общий, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограммечто и требовалось доказать.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(см. рис. 28). Углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются внутренними односторонними при прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку сумма этих углов составляет Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето по признаку параллельности прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеАналогично доказываем параллельность сторон Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, по определению параллелограмма Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— прямоугольник по определению.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Пусть диагонали ромба Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепересекаются в точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравнобедренный с основанием Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа по свойству диагоналей параллелограмма точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. диагонали ромба перпендикулярны, иКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме— биссектриса угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

  1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
  2. все углы квадрата прямые;
  3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограмместороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются основаниями, а Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— боковыми сторонами.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеНа рисунке 37 Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес боковыми сторонами Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеИногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— данная трапеция, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем высоты Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеиз вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 41). У них Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак боковые стороны равнобедренной трапеции, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак расстояния между параллельными прямыми Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеУглы трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметакже равны, поскольку они дополняют равные углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

  • если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев которой Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 42). По условию задачи треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравнобедренный с основанием Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес другой стороны, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПусть градусная мера угла 1 равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметогда в данной трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеимеем: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— данные диагонали параллелограмма, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепостроен (рис. 43).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеможно построить по двум сторонам и углу между ними Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Таким образом, мы получим вершины Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеискомого параллелограмма.

Вершины Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеможно получить, «удвоив» отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Построение

1. Разделим отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепополам.

2. Построим треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо двум сторонам и углу между ними.

3. На лучах Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеотложим отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

4. Последовательно соединим точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм, поскольку по построению его диагонали Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(по построению),

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— основания искомой трапеции, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепостроена (рис. 44).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем через вершину Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямую Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллельную Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм по определению, следовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеследовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВспомогательный треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеможно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин Как доказать что прямые параллельны в параллелограмменадо отложить на луче Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи на луче с началом в точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллельном Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеотрезки длиной Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Построение

1. Построим отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

2. Построим треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо трем сторонам Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

3. Построим луч, проходящий через точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи параллельный Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПри этом построенный луч и луч Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедолжны лежать по одну сторону от прямой Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

4. На луче Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеот точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеотложим отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена луче с началом Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

5. Соединим точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

По построению Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеследовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм по признаку. Отсюда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеудовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 46).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем через точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямую Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепараллельную Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 47).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Четырехугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограммы по определению. Тогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа поскольку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеУ них Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо доказанному, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак вертикальные, a Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо второму признаку, откуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравных частей.

Решение:

Решим задачу для Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. разделим данный отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена три равные части (рис. 48).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Для этого проведем из точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепроизвольный луч, не дополнительный к лучу Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи отложим на нем равные отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПроведем прямую Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи параллельные ей прямые через точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо теореме Фалеса эти прямые делят отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 50). Докажем сначала, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПроведем через точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямую, параллельную Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо теореме Фалеса она пересечет отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев его середине, т.е. будет содержать отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем теперь среднюю линию Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо только что доказанному она будет параллельна стороне Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЧетырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеА поскольку точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середины сторон четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 51). Проведем диагональ Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОтрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средние линии треугольников Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесоответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес основаниями Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 53).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведем прямую Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи отметим точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точку пересечения прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеРассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеУ них Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепоскольку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак вертикальные, a Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо второму признаку, откуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по определению Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо свойству средней линии треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепоэтому Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеоткуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо свойству средней линии треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 54).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеотсекают на боковой стороне Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравные отрезки, т.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по определению Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия трапеции Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо свойству средней линии трапеции имеем систему:

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеРасширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На рисунке 58 угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепересекают данную окружность в точках Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПри этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммерис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммерис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами Как доказать что прямые параллельны в параллелограммемы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеобозначенному дужкой, соответствует дуга Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа на рисунке 59, б — дуга Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ случае, когда лучи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедополнительные, соответствующая дуга Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляется полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеНапример, на рисунке 59, в Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет. е. градусная мера полуокружности составляет Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОчевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Концы хорды Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделят окружность на две дуги — Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

На рисунке 60 изображен вписанный угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЕго вершина Как доказать что прямые параллельны в параллелограммележит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеДуга Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеопирается на дугу Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть в окружности с центром Как доказать что прямые параллельны в параллелограммевписанный угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеопирается на дугу Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеДокажем, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеРассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляется внешним углом при вершине Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравнобедренного треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо теореме о внешнем угле треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеА поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

т.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 61, б). Луч Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделит угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена два угла. По только что доказанному Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеследовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеесли Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 62).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

Для того чтобы найти угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограмменеобходимо найти градусную меру дуги Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена которую опирается угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеиз теоремы о вписанном угле Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЗаметим, что дуги Как доказать что прямые параллельны в параллелограммевместе составляют полуокружность, т.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеследовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по теореме о вписанном угле Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекоторый опирается на полуокружность, равен Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеугол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямой (рис. 65, а), то дуга Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Тогда гипотенуза Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеесли Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 66).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Поскольку вписанный угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеопирается на полуокружность, то по следствию 2 Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЗначит, треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямоугольный, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо следствию 1 углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравны, поскольку оба они опираются на дугу Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

  1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равнаКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме(свойство вписанного четырехугольника).
  2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равнаКак доказать что прямые параллельны в параллелограммето около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммевписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Следовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Аналогично доказываем, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеОпишем окружность около треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи докажем от противного, что вершина Как доказать что прямые параллельны в параллелограммене может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммележит внутри окружности, а точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точка пересечения луча Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес дугой Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 73).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Тогда четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— вписанный. По условию Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеа по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеНо угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммечетырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— внешний угол треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммене может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммене может лежать вне окружности. Тогда точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммележит на окружности, т.е. около четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеможно описать окружность.

Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммена рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

  1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
  2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекасаются вписанной окружности в точках Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 76).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

По свойству отрезков касательных Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеС учетом обозначений на рисунке Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммес наименьшей стороной Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку по теореме о биссектрисе угла точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(точка пересечения биссектрис углов Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравноудалена от сторон Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето можно построить окружность с центром Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекоторая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Предположим, что это не так. Тогда прямая Как доказать что прямые параллельны в параллелограммелибо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекасательную к окружности, которая пересекает сторону Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда по свойству описанного четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеНо по условию Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВычитая из второго равенства первое, имеем: Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. Как доказать что прямые параллельны в параллелограммечто противоречит неравенству треугольника для треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая Как доказать что прямые параллельны в параллелограммене может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет. е. четырехугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеописанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— данная равнобедренная трапеция с основаниями Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо свойству описанного четырехугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСредняя линия трапеции равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Обозначим на сторонах произвольного угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесоответственно (рис. 79).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точку пересечения перпендикуляров.

Через точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммене лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесуществует и является единственной). Обозначим точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точки пересечения этой окружности со сторонами угла Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПрямые углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются диаметрами окружности, которые имеют общий конец Как доказать что прямые параллельны в параллелограммено не совпадают. Тогда их середины Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеявляются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеобязательно пройдет через точку Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ таком случае отрезки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесовпадут с отрезком Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесередина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеесли радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 80).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммезначит, ее центром является середина гипотенузы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеВ треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак катет, противолежащий углу Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку в прямоугольном треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето углы при большем основании трапеции равны Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи секущей Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, в треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедва угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеоткуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеТогда Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки Как доказать что прямые параллельны в параллелограммележащей на катете Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепрямоугольного треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепроведен перпендикуляр Как доказать что прямые параллельны в параллелограммек гипотенузе Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 81). Докажите, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Решение:

В четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммезначит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммебудут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Пусть в треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепроведены медианы Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 85).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепричем Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— точка пересечения медиан Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочки Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середины отрезков Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммесоответственно. Отрезок Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи по свойству средней линии треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— средняя линия треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи по тому же свойству Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеЗначит, в четырехугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммедве стороны параллельны и равны. Таким образом, Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограмм, и его диагонали Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочкой пересечения делятся пополам. Следовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделит медианы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана Как доказать что прямые параллельны в параллелограмметочкой пересечения с каждой из медиан Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике Как доказать что прямые параллельны в параллелограммемедианы Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравны и пересекаются в точке Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 87).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Рассмотрим треугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПоскольку точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеделит каждую из равных медиан Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеи Как доказать что прямые параллельны в параллелограммев отношении Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКроме того, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекак вертикальные. Значит, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммепо первому признаку. Отсюда следует, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, Как доказать что прямые параллельны в параллелограммет.е. треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеравнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Пусть Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— высоты треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме(рис. 88).

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник Как доказать что прямые параллельны в параллелограмместороны которого перпендикулярны высотам треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеПо построению четырехугольники Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— параллелограммы, откуда Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеСледовательно, точка Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина отрезка Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеАналогично доказываем, что Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме— середина Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Таким образом, высоты Как доказать что прямые параллельны в параллелограммележат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Как доказать что прямые параллельны в параллелограммекоторые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника.

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

  • точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
  • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
  • точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
  • точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Сумма углов четырехугольника равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограммеКак доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Признак ромба

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Все углы квадрата прямые

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам

Трапеция

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема Фалеса

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограммето около него можно описать окружность

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Около любого прямоугольника можно описать окружность
Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Свойство вписанного четырехугольника

  • Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
  • Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
  • Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

В любой ромб можно вписать окружность
Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Свойство описанного четырехугольника

  • В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
  • Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме
Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD) .

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Проведём диагональ (AC) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( (AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC) ), поэтому (angle 3 = angle 4) . Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC) , следовательно, (ADparallel BC) . Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD) , разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA) .

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Эти треугольники равны по трем сторонам ( (AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) . Отсюда следует, что (ABparallel CD) . Так как (AB = CD) и (ABparallel CD) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD) , в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ( (AO = OC) , (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle 2) . Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) ) следует, что (ABparallel CD) .

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD) .

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE) . Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2) , откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM) – биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^) , тогда (angle DAB + angle ABC = 180^) .

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM = 0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^) , откуда (angle AOB = 180^circ — (angle BAN + angle ABM) = 90^circ) .

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD) .

Как доказать что прямые параллельны в параллелограмме

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 = 0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1) . Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM) , тогда (angle 2 = angle 3) , откуда следует, что (ANparallel CM) . Кроме того, (AMparallel CN) , тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM) .

💥 Видео

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Как доказать, что ABCD является параллелограммом!? #математика #егэ #егэ2021 #егэ2022 #shortsСкачать

Как доказать, что ABCD является параллелограммом!? #математика #егэ #егэ2021 #егэ2022 #shorts

В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теоремаСкачать

В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теорема

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 клСкачать

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 кл

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

Первый признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Первый признак параллелограмма (доказательство).

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Свойства параллелограмма. 8 класс.Скачать

Свойства параллелограмма. 8 класс.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

свойства параллелограммаСкачать

свойства параллелограмма

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)
Поделиться или сохранить к себе: