Расстояние от вершин треугольника до точек касания вневписанной окружности (7 видео)

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Содержание

Электронный сборник задач по теме » Вневписанная окружность»
Скачать:
Подписи к слайдам:
МАТЕМАТИКА
📽️ Видео

Видео:8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

Электронный сборник задач по теме » Вневписанная окружность»

Данная работа будетет интересна ученикам,желающим изучить теорию и научиться решать задачи на вневписанную окружность.Учителя могут применять данный материал при объяснении и отработке данной темы.

Видео:Треугольник. Расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности. Задание 16Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
elektronnoe_posobie_po_teme_vnevpisannaya_okruzhnost._podlesnova_anna.pptx	779.11 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

Подписи к слайдам:

Электронное пособие по теме : «Вневписанная окружность» .

Содержание: 1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Радиус вневписанной окружности: Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника. Задачи : Задача №1. Задача №2. Задача №3. 2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1. следствие №2. Задачи : Задача №4. Задача №5. Задача №6. Задача №7.

1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.

Вневписанная окружность. Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных . О 3 O 2 О 1

Центр вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. . А В С O

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Т.к. касательные, проведенные из одной точки, равны ,то ВВ 1 =ВА 1 , СА 1 =СС 1 , АВ 1 =АС 1 . Значит, P = (АС+СА 1 )+(АВ+ВА 1 )= (АС+СС 1 )+(АВ+ВВ 1 )= АС 1 +АВ 1 =2АС 1 =2АВ 1 , т.е. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: В прямоугольном треугольнике  АО а С 1 r a и – длины катетов, О а АС = , поэтому , что и требовалось доказать. II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.

III . Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Имеем: , что и требовалось доказать. А В С О а В 1 С 1 b c r a r a r a а

Задачи на свойства касательной к вневписанной окружности и ее радиусов:

Задача№1. Найдите периметр треугольника АВС, если расстояние от вершины А до точки касания с вневписанной окружностью равно 17 , расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины С до точки касания окружности со стороной АC равно 4. (авторская задача) Решение

Решение №2: 1) Т.к АВ 1 = АС 1 = ( по теореме о касательной вневписанной окружности) , то Р= АВ 1 * 2 => Р= 17*2=34. Ответ: Р = 34. Решение: Дано: Окр(О а ;О а C 1 );  АВС;AB 1 =17, BL =6, CC 1 =4. Найти: P -?. Решение №1: 1) Рассмотрим  АВС. Т.к. BL=BB 1 =6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ 1 — BB 1 => АВ =17-6 =11 . 17 А В В 1 О а L 6 4 С С 1 2) Т.к. СL=СB 1 =4 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то ВС=BL + LC => В C =6+4 =10 . 4) Р=AB+ВС+АС => Р=11+10+13=34 . 3) Т.к. AB 1 =АС 1 =17 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АС= АС 1 — CC 1 => АС =17-4 =13 . 13

Задача№2. Решение Задача№2. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника со сторонами 13, 13, 10. ( ЕГЭ- 2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина)

Решение 1 : Дано: Окр(О а ; r а );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r а -?. Решение (1 случай) : 1 . Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, r a — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB — в точках H , K и M соответственно. А В С M H О а r a 5 5 5 13 13 12 18 K 2.Поскольку  АВС равнобедренный, точка H — высота и середина основания BC. Рассмотрим  А H В, где  H=90  . По теореме Пифагора: 3. Пусть O a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB, причём продолжения стороны AB —в точке M. Тогда BM = BH = 5 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки) ; AM = AB + BM = 13 + 5 = 18. 4. Рассмотрим  А MO a , где  M=90  (т еорема о касательной к окружности ). По теореме радиусе вневписанной окружности получаем, что ( AM= по теореме о расстоянии от вершины угла треугольника до точек касания с вневписанной окружности )

Решение 2 : Дано: Окр(О c ; r c );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r c -?. Решение (2 случай): 1 . Пусть O c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO —биссектриса  BAL, а так как AH — биссектриса смежного с ним  BAC, то ∠ HAO c = 90  . А В С L H О c r c 5 5 13 12 K 2. Четырёхугольник AO c KH — прямоугольник (∠ HAO c = ∠AHK = ∠HKO c = 90  ), поэтому r c = O c K = AH = 12 . 3. Аналогично найдём, что r b = AH = 12. Ответ: r a = 7,5; r b = 12 ; r c = 12 . 12

Задача№3. Найдите радиус вневписанной окружности, если расстояние от вершины А до точки касания с окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13. (авторская задача) Решение

Дано: AB 1 =21, AB=14, AC=13, BC=15. Найти: r a -? . Решение : O A C C 1 L 1 5 1 3 B 21 1 4 B 1 1 ) Рассмотрим  ABC : 2 ) 3) По теореме о радиусе вневписанной окружности:  ( по формуле Герона) ( по теореме о касательной к вневписанной окружности) Ответ: r a = 14 . r a r a Решение:

2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.

Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ), вписанная окр .(О; r ), описанная окр.(О; R). Доказать: Док-во: Выразим все радиусы через стороны, S и полупериметр треугольника: Значит,  поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству , то справедлива формула ,что и требовалось доказать. О c О b О a О О r c r b r a r R a b c

Выражение суммы величин , обратных радиусам вневписанных окружностей , через величину обратную радиусу вписанных окружностей . Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.

Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) , вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона Тогда , что и требовалось доказать. Следствия r a r c r b О c О b О а В A r C О

1 следствие: Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) . Доказать: Док-во : Из Следовательно , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A

2 следствие: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во : Из следствия 1 , что и равенства, получаем, перемножая их почленно, . Значит, , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A О r

Задачи на соотношения с радиусов вневписанных окружностей:

Задачи: Задача№4. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001. Решение

Решение: Дано:  ABC ; Окр(О; r х =1001), Окр(О 3 , r с ), Окр(О 1 ; r а =2002), Окр(О 2 ;r b =4004). Найти: r с -? O 3 O 2 O O 1 r a r c r b r x 2002 1001 4004 ? C A В Т.к. сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно , то c оставим равенство: Ответ: r с =4004 . Решение:

Задачи: Задача №5. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. (сборник «Подготовка к ЕГЭ -2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Решение: Дано:  ABC ; r a =9, r b =18, r c =21 ; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b), Окр(О; R ) . Найти: , следовательно r a r b r c O O O O R r О 1. Найдем S : , получаем 2. Найдем 4 R : Подставляем: Ответ: 5460. Решение:

Задачи: Задача №6. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6. (сборник «Подготовка к ЕГЭ- 2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Решение: Дано:  ABC ; a= 4 , b= 5 , c= 6; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b) Найти: 2. Так как , то Таким образом, Ответ: a (4) c (6) b (5) O O O r a r b r c O r 1. Так как , где r -радиус вписанной в треугольник окружности, то: Решение:

Задачи: Задача№7. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА -2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Решение

3. АК – высота, проведенная к гипотенузе  AK²=FK*KO ( по теореме о высоте прямоугольного )  Так как FK – радиус вписанной в  АВС окружности, следовательно Ответ: Решение: Дано:  ABC -равнобедренный; AC = 10; вписанная окр.( F ; r), вневписанная о кр.(О; r а= 7,5 ). Найти: r- ? 1 . Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это — вневписанная окружность. F O А B C K r r a 2. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса  ВАС, а AO – биссектриса  CAD   FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. D Решение:

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

МАТЕМАТИКА

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку до пересечения в точке с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром (рис.4), – это следует из того, что углы и прямые.

Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника . Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но , значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, и – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Пусть и – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен , а периметр большого треугольника равен

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников и ( и – центры вневписанных окружностей) находим . Но отрезок равен полупериметру большого треугольника, то есть .

Поэтому из полученной пропорции можно найти :

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.