Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники HOB и KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Содержание
  1. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2?
  2. В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2?
  3. Дана равнобедренная трапеция, её площадь равна 125?
  4. Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию?
  5. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 1 см?
  6. Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12см?
  7. Радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, равен 3, а площадь трапеции равна 108?
  8. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 5 см вписана окружность?
  9. Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию?
  10. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м?
  11. В трапецию, длины боковых сторон которой равны 13 и 15, вписана окружность радиуса 6?
  12. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  13. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  14. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  15. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  16. 📸 Видео

Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2?

Геометрия | 10 — 11 классы

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2.

Найдите площадь трапеции если длинна боковой стороны равна 10.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935

В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2?

В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2.

Найдите боковую сторону трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Задача.Скачать

Задача.

Дана равнобедренная трапеция, её площадь равна 125?

Дана равнобедренная трапеция, её площадь равна 125.

В трапецию вписана окружность так, что расстояние между точками касания её боковых сторон равно 8.

Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию?

Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию.

Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1 : 4.

Найдите периметр трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Окружность касается боковых сторон АВ и ВС остроугольного треугольника АВС в точкахА и С соответствеСкачать

Окружность касается боковых сторон АВ и ВС остроугольного треугольника АВС в точкахА и С соответстве

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 1 см?

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 1 см.

Боковая сторона равна 3 см.

Найдите пожалуйста (С решением) площадь трапеции.

Буду ОЧЕНЬ благодарен)))))

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12см?

Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12см.

Найдите площадь трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Сможешь найти расстояния между точками касания?Скачать

Сможешь найти расстояния между точками касания?

Радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, равен 3, а площадь трапеции равна 108?

Радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, равен 3, а площадь трапеции равна 108.

Найдите расстояние между точками касания окружности боковых сторон трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскости

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 5 см вписана окружность?

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 5 см вписана окружность.

Найдите длину средней линии трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Расстояние между точкамиСкачать

Расстояние между точками

Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию?

Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию.

Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1 : 4.

Найдите периметр трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Amr и булавки (Геометрия: Окружности, Расстояние между точками)Скачать

Amr и булавки (Геометрия: Окружности, Расстояние между точками)

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м?

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м.

Найдите площадь трапеции.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

В трапецию, длины боковых сторон которой равны 13 и 15, вписана окружность радиуса 6?

В трапецию, длины боковых сторон которой равны 13 и 15, вписана окружность радиуса 6.

Найдите длину большего из оснований этой трапеции.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Сумма углов треугольника равна 180°. Величина тупого угла больше 90°, но меньше 180°. Значит на два других угла остается меньше 90°. Значит эти два угла могут быть только острыми.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Прости за качество ) Решение на фотографии.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Представьте, что это ровные круги) если совсем непонятно : один круг с радиусом в 4 клетки, второй — 3 клетки. Поставьте циркуль и отведите второй конец на 4 клетки, потом уменьшите на одну клетку, не убирая циркуль, и проведите второй круг.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Пусть ВС = х см, тогда АВ = (х + 6) см. Р = 2 * (АВ + ВС) 2 * (х + 6 + х) = 48 2х + 6 = 48 : 2 2х + 6 = 24 2х = 24 — 6 2х = 18 х = 18 : 2 х = 9 ВС = 9 см АВ = 9 + 6 = 15см Противоположные стороны параллелограмма равны Ответ : АВ = СД = 15см, ВС = АД..

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Пусть х одна сторона. Тогда х + 2 вторая сторона. Зная, что Р = 36, составим уравнение : 2х + 2х + 4 = 364х = 32Х = 8 см. Одна сторона 8 см, значит другая 8 + 2 = 10 см. S = 3×10 = 30см ^ 2Ответ 30.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Условия задач даны на фото.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

В этом треугольнике 6² = 3² + (3√3)² то есть 36 = 9 + 27 36 = 36 Значит треугольник ABC — прямоугольный, а радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза в этом треугольнике AC = 6, значит R = 1 /..

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Вот посмотри если в первом что то не понятно мне все равно я свое дело сделал.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Значит так, у нас есть смежные и верти кальные углы смежные в сумме дают 180 градусов, а вертикальные равны если ты нарисуешь крестик , то верхние углы смежные значит 180 — 94 ты получаешь 2 угол вертикальные углы это 1. 2 + 3. 4. Углы 3 и 2 , и4 и..

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Сумма двух углов по одной стороне параллелограмма = 180° 1) если один угол = х°, то другой = 2х (по условию) х + 2х = 180 3х = 180 х = 60 2х = 120 Противолежащие углы параллелограмма равны, ⇒ углы параллелограмма = 60° ; 120° ; 60° ; 120° — — — — — -..

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Расстояние между точками касания окружности боковых сторонСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Расстояние между точками касания окружности боковых сторонФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторонВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружностиСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружности

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон
Равнобедренный треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон
Равносторонний треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон
Прямоугольный треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Произвольный треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон
Равнобедренный треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон
Равносторонний треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон
Прямоугольный треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон
Произвольный треугольник
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние между точками касания окружности боковых сторон.

Равнобедренный треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Равносторонний треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРасстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Видео:Параметры расстояние между точкамиСкачать

Параметры  расстояние между точками

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Расстояние между точками касания окружности боковых сторон– полупериметр (рис. 6).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

с помощью формулы Герона получаем:

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

Расстояние между точками касания окружности боковых сторон

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

📸 Видео

8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. КонтрольнаяСкачать

8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. Контрольная

Расстояние между точками. Геометрия 9 класс.Скачать

Расстояние между точками. Геометрия 9 класс.

Расстояние между точками по координатам.Скачать

Расстояние между точками по координатам.

ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать

ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностей

Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс
Поделиться или сохранить к себе: