Расширенная теорема синусов окружность (2 видео)

Теорема синусов. Доказательство

Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

(a)

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту h_b из вершины B на сторону b (Рис.1).

Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен h_b если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

Аналогично можем записать:

(1)

Далее, для высоты h_c, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

(2)

Из (1) и (2) получим:

Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

(b)

где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

(3)

Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

Но поскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).

2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).

Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:

(4)

Покажем, что . Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:

(5)

(6)

Тогда из (5) и (6) получим:

(7)

Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:

(8)

Но . Тогда из (8) получим равенство (3).

Содержание

Примеры и решения
Теорема синусов
Доказательство теоремы синусов
Доказательство следствия из теоремы синусов
Теорема о вписанном в окружность угле
Примеры решения задач
Запоминаем
Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.
Доказательство теоремы синусов.
🔥 Видео

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Примеры и решения

Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).

Решение. Из теоремы синусов, имеем:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.

Далее, из теоремы синусов:

Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).

Видео:#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Видео:Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Видео:Теорема синусов и радиус описанной окружности.Скачать

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Видео:ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы СинусовСкачать

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника — противолежащие им углы.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем: