Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равенДано:

СF — биссектриса ∠ABC

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равенДоказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равенПо свойству биссектрисы треугольника:

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Согласно утверждению 1,

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Что и требовалось доказать.

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Все формулы биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен= Квадрат биссектрисы в треугольнике равен, или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен= Квадрат биссектрисы в треугольнике равен, или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому

Квадрат биссектрисы в треугольнике равен= Квадрат биссектрисы в треугольнике равен, или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

📽️ Видео

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы.  §7 геометрия 7 класс

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс

Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИ

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Биссектриса в треугольникеСкачать

Биссектриса в треугольнике

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Задача про квадрат в треугольнике и 2 способа её решения: с помощью геометрии и с помощью логикиСкачать

Задача про квадрат в треугольнике и 2 способа её решения: с помощью геометрии и с помощью логики

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16
Поделиться или сохранить к себе: