Радиусы вневписанных окружностей треугольника равны 5 и 20

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Радиусы вневписынных окружностей прямоугольного треугольника равны 5 и 20см?

Геометрия | 5 — 9 классы

Радиусы вневписынных окружностей прямоугольного треугольника равны 5 и 20см.

Найти площадь этого треугольника.

Ну, Вас не плохо готовят.

Пусть p = (a + b + c) / 2 ; — ПОЛУпериметр, r — радиус вписанной окружности, r1 = 5, r2 = 20, r3 — радиусы вневписанных окружностей.

Аналогично формуле S = r * p очень легко доказать формулы

S = r1 * (p — a) = r2 * (p — b) = r3 * (p — c) ;

(достаточно доказать одно соотношение — остальные получаются заменой обозначений).

Пусть окружность с центром О касается стороны а, противолежащей углу А, и продолжений сторон b и с.

Тогда площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ABO и ACO минус площадь треугольника BCO, у всех этих треугольников высоты равны r1

Sabc = Sabo + Saco — Scbo = (c * r1) / 2 + (b * r1) / 2 — (a * r1) / 2 = r1 * (b + c — a) / 2 = r1 * (p — a)>

Отсюда S / (p — a) = r1 ; S / (p — b) = r2 ; S / (p — c) = r3 ;

Если это все перемножить, то

r1 * r2 * r3 = S ^ 3 / ((p — a) * (p — b) * (p — c)) = S ^ 3 * p / (p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) = S ^ 3 * p / S ^ 2

(была использована формула Герона для площади треугольника)

r1 * r2 * r3 = S * p ;

Теперь надо вспомнить, что треугольник прямоугольный (до этого прямоугольность нигде не использовалась).

В этом случае радиус r3 окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, просто равен p.

Доказать это можно кучей способов, — к примеру, так

поскольку p — c = (a + b + c) / 2 — c = (a + b — c) / 2 = r, а r3 * (p — c) = S, то r3 * r = S, откуда r3 = p ;

Итак, S = r1 * r2 = 100 кв.

См. Я считал, что r1 = 5 и r2 = 20 — радиусы вневписанных окружностей, касающихся катета и продолжений другого катета и гипотенузы.

Если это не так, задача на много сложнее.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Дан прямоугольный треугольник АВС?

Дан прямоугольный треугольник АВС.

Гипотенуза равна 13.

Вписанная в него окружность имеет радиус 2.

Найти площадь треугольника.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его периметр — 24см?

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его периметр — 24см.

Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12?

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12.

Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Если радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2, а гипотенуза равна 11, то площадь этого треугольника равна?

Если радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2, а гипотенуза равна 11, то площадь этого треугольника равна?

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2см?

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2см.

Найдите периметр и площадь треугольника.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 см?

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 см.

Найти пиримитр и площадь треугольника.

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его периметр — 24см?

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его периметр — 24см.

Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм ^ 2, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см?

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм ^ 2, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см.

Найти катеты треугольника.

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 23 и √225?

Катеты прямоугольного треугольника равны 23 и √225.

Найти R (радиус) описанный окружности этого треугольника !

На этой странице сайта размещен вопрос Радиусы вневписынных окружностей прямоугольного треугольника равны 5 и 20см? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Электронный сборник задач по теме » Вневписанная окружность»

Данная работа будетет интересна ученикам,желающим изучить теорию и научиться решать задачи на вневписанную окружность.Учителя могут применять данный материал при объяснении и отработке данной темы.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Подписи к слайдам:

Электронное пособие по теме : «Вневписанная окружность» .

Содержание: 1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Радиус вневписанной окружности: Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника. Задачи : Задача №1. Задача №2. Задача №3. 2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1. следствие №2. Задачи : Задача №4. Задача №5. Задача №6. Задача №7.

1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.

Вневписанная окружность. Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных . О 3 O 2 О 1

Центр вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. . А В С O

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Т.к. касательные, проведенные из одной точки, равны ,то ВВ 1 =ВА 1 , СА 1 =СС 1 , АВ 1 =АС 1 . Значит, P = (АС+СА 1 )+(АВ+ВА 1 )= (АС+СС 1 )+(АВ+ВВ 1 )= АС 1 +АВ 1 =2АС 1 =2АВ 1 , т.е. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: В прямоугольном треугольнике  АО а С 1 r a и – длины катетов, О а АС = , поэтому , что и требовалось доказать. II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.

III . Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Имеем: , что и требовалось доказать. А В С О а В 1 С 1 b c r a r a r a а

Задачи на свойства касательной к вневписанной окружности и ее радиусов:

Задача№1. Найдите периметр треугольника АВС, если расстояние от вершины А до точки касания с вневписанной окружностью равно 17 , расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины С до точки касания окружности со стороной АC равно 4. (авторская задача) Решение

Решение №2: 1) Т.к АВ 1 = АС 1 = ( по теореме о касательной вневписанной окружности) , то Р= АВ 1 * 2 => Р= 17*2=34. Ответ: Р = 34. Решение: Дано: Окр(О а ;О а C 1 );  АВС;AB 1 =17, BL =6, CC 1 =4. Найти: P -?. Решение №1: 1) Рассмотрим  АВС. Т.к. BL=BB 1 =6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ 1 — BB 1 => АВ =17-6 =11 . 17 А В В 1 О а L 6 4 С С 1 2) Т.к. СL=СB 1 =4 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то ВС=BL + LC => В C =6+4 =10 . 4) Р=AB+ВС+АС => Р=11+10+13=34 . 3) Т.к. AB 1 =АС 1 =17 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АС= АС 1 — CC 1 => АС =17-4 =13 . 13

Задача№2. Решение Задача№2. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника со сторонами 13, 13, 10. ( ЕГЭ- 2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина)

Решение 1 : Дано: Окр(О а ; r а );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r а -?. Решение (1 случай) : 1 . Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, r a — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB — в точках H , K и M соответственно. А В С M H О а r a 5 5 5 13 13 12 18 K 2.Поскольку  АВС равнобедренный, точка H — высота и середина основания BC. Рассмотрим  А H В, где  H=90  . По теореме Пифагора: 3. Пусть O a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB, причём продолжения стороны AB —в точке M. Тогда BM = BH = 5 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки) ; AM = AB + BM = 13 + 5 = 18. 4. Рассмотрим  А MO a , где  M=90  (т еорема о касательной к окружности ). По теореме радиусе вневписанной окружности получаем, что ( AM= по теореме о расстоянии от вершины угла треугольника до точек касания с вневписанной окружности )

Решение 2 : Дано: Окр(О c ; r c );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r c -?. Решение (2 случай): 1 . Пусть O c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO —биссектриса  BAL, а так как AH — биссектриса смежного с ним  BAC, то ∠ HAO c = 90  . А В С L H О c r c 5 5 13 12 K 2. Четырёхугольник AO c KH — прямоугольник (∠ HAO c = ∠AHK = ∠HKO c = 90  ), поэтому r c = O c K = AH = 12 . 3. Аналогично найдём, что r b = AH = 12. Ответ: r a = 7,5; r b = 12 ; r c = 12 . 12

Задача№3. Найдите радиус вневписанной окружности, если расстояние от вершины А до точки касания с окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13. (авторская задача) Решение

Дано: AB 1 =21, AB=14, AC=13, BC=15. Найти: r a -? . Решение : O A C C 1 L 1 5 1 3 B 21 1 4 B 1 1 ) Рассмотрим  ABC : 2 ) 3) По теореме о радиусе вневписанной окружности:  ( по формуле Герона) ( по теореме о касательной к вневписанной окружности) Ответ: r a = 14 . r a r a Решение:

2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.

Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ), вписанная окр .(О; r ), описанная окр.(О; R). Доказать: Док-во: Выразим все радиусы через стороны, S и полупериметр треугольника: Значит,  поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству , то справедлива формула ,что и требовалось доказать. О c О b О a О О r c r b r a r R a b c

Выражение суммы величин , обратных радиусам вневписанных окружностей , через величину обратную радиусу вписанных окружностей . Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.

Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) , вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона Тогда , что и требовалось доказать. Следствия r a r c r b О c О b О а В A r C О

1 следствие: Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) . Доказать: Док-во : Из Следовательно , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A

2 следствие: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во : Из следствия 1 , что и равенства, получаем, перемножая их почленно, . Значит, , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A О r

Задачи на соотношения с радиусов вневписанных окружностей:

Задачи: Задача№4. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001. Решение

Решение: Дано:  ABC ; Окр(О; r х =1001), Окр(О 3 , r с ), Окр(О 1 ; r а =2002), Окр(О 2 ;r b =4004). Найти: r с -? O 3 O 2 O O 1 r a r c r b r x 2002 1001 4004 ? C A В Т.к. сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно , то c оставим равенство: Ответ: r с =4004 . Решение:

Задачи: Задача №5. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. (сборник «Подготовка к ЕГЭ -2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Решение: Дано:  ABC ; r a =9, r b =18, r c =21 ; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b), Окр(О; R ) . Найти: , следовательно r a r b r c O O O O R r О 1. Найдем S : , получаем 2. Найдем 4 R : Подставляем: Ответ: 5460. Решение:

Задачи: Задача №6. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6. (сборник «Подготовка к ЕГЭ- 2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Решение: Дано:  ABC ; a= 4 , b= 5 , c= 6; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b) Найти: 2. Так как , то Таким образом, Ответ: a (4) c (6) b (5) O O O r a r b r c O r 1. Так как , где r -радиус вписанной в треугольник окружности, то: Решение:

Задачи: Задача№7. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА -2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Решение

3. АК – высота, проведенная к гипотенузе  AK²=FK*KO ( по теореме о высоте прямоугольного )  Так как FK – радиус вписанной в  АВС окружности, следовательно Ответ: Решение: Дано:  ABC -равнобедренный; AC = 10; вписанная окр.( F ; r), вневписанная о кр.(О; r а= 7,5 ). Найти: r- ? 1 . Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это — вневписанная окружность. F O А B C K r r a 2. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса  ВАС, а AO – биссектриса  CAD   FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. D Решение:

🎦 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать