Радиусы описанной окружности перпендикулярны сторонам ортотреугольника

Предметом нашего исследования являются ортоцентрические треугольники и их свойства.

Цель – изучение свойств ортоцентрических треугольников и исследование путей их использования для решения задач.

1) выяснить, что такое ортотреугольник;

2) изучить и проанализировать свойства ортотреугольников;

3) рассмотреть возможное применение

этих свойств для решения задач.

4) подвести итоги.

Во время выполнения поставленных задач нами был использован описательный метод исследования, изучение и обобщение.

Практическая значимость: результаты проведенного исследования могут стать опорой для решения олимпиадных задач, задач ЕГЭ и ОГЭ с использованием свойств отроцентрических треугольников.

Глава 1. Исторические сведения и свойства

§ 1. Что такое ортоцентрический треугольник?

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) — это треугольник ΔA_1B1C₁, вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC. Для ортотреуго́льника (для ортоцентрического треугольника) ΔA_1B1C₁ сам треугольник ∆ABC является треугольником трёх внешних биссектрис. То есть отрезки AB, BC и CA являются тремя внешними биссектрисами треугольника ΔA_1B1C₁.

§ 2. Исторические сведения

В начале 18 века итальянский инженер и математик Фаньяно дей Тоски поставил перед собой такую задачу: вписать в остроугольный треугольник АВС треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой из сторон данного треугольника лежала одна вершина вписанного. Аналитическое решение этой задачи было опубликовано в 1755 году. Было доказано, что существует единственный треугольник наименьшего периметра KMN, его вершина K – основание высоты CK. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник KMN.

§ 3.Свойства ортотреугольников

1.Теорема о подобии треугольников. Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

В остроугольном треугольнике проведены высоты , . Найдем углы треугольника , если , а .

Прямоугольные треугольники и имеют общий угол при вершине С, они подобны, поэтому .

Из этого равенства следует, что в треугольниках и стороны, прилежащие к общему углу при вершине С, пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников подобен . В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, поэтому угол , .

Аналогично можно доказать подобие треугольников и ; и , если провести высоту CC₁. При этом , и .

Как следствие данной теоремы, верно следующее утверждение:

Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.

Среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только ортотреугольник обладает указанным свойством.

І. Ортоцентрический треугольник H₁H₂H₃ В остроугольном треугольнике ABC соединим отрезками основания высот H₁,H₂,H₃ (рис. 1). Получим

треугольник H₁H₂H₃. Рассмотрим некоторые свойства этого треугольника, которые используют при решении задач.

Свойство 1. Стороны ортоцентрического треугольника H₁H₂H₃ антипараллельны сторонам треугольника ABC.

Доказательство. Обозначим точку H — точку пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр). Опишем окружность около четырёхугольника AH₂HH₃. Тогда ∠AH₂H₃ = ∠AHH₃ = ∠ABC, значит, сторона H₂H₃ антипараллельна стороне BC. Аналогично доказывается антипараллельность двух других сторон треугольника

Свойство 2. Высоты треугольника ABC являются биссектрисами внутренних углов треугольника H₁H₂H₃.

Свойство 3. Отрезок OA перпендикулярен отрезку H₂H₃.

Доказательство. Действительно, если описать окружность около треугольника H₁H₂H₃, дуги, на которые опираются углы ∠H₂H₁A и ∠AH₁H₃, равны, а значит, OA⊥H₂H₃ (рис. 2).

Свойство 4. Вершины треугольника ABC являются центрами вневписанных окружностей ортоцентрического треугольника H₁H₂H₃ (рис. 3).

Доказательство. Поскольку отрезок AH₂ перпендикулярен биссектрисе H₂B, а AH₃⊥CH_3, то пересечение отрезков AH₂ и AH₃, — точка A есть центр вневписанной окружности, касающейся стороны H₂H₃.

Свойство 5. Имеет место формула p_H = h_asinA, где p_H — полупериметр треугольника H₁H₂H₃, h_a — высота AH₁.

Доказательство. Из точки A опустим перпендикуляр AF на прямую H₁H₃ (рис.3). Поскольку∠H₁AF = ∠H₃H₁B (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то ∠HAF = ∠A и H₁F = h_asinA (из треугольника H A1 F), или p_H = h_asinA.

Свойство 6. Имеет место формула S = Rp_H, где S — площадь треугольника ABC, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Доказательство. Действительно, поскольку p_H = h_asinA, то

p_H= sinA, и S = Rp_H(a — длина стороны BC).

Свойство 7. Окружность Леонарда Эйлера.

Доказательство. Опишем окружность около треугольника H₁H₂H₃. Докажем, что окружности (обозначим её γ_e), кроме точек H₁, H₂, H₃, принадлежат середины отрезков AH, BH, CH (их называют точками Эйлера и обозначают E₁, E₂, E₃), ещё три точки M₁, M₂, M₃ — середины сторон BC, AC, AB. Начнём с точек Эйлера. Заметим, что доказательство нестандартно (рис. 4).

Поскольку прямая H H1 (рис. 4) принадлежит биссектрисе угла ∠H₂H₁H₃, то точка её пересечения с окружностью γ_e, описанной

около треугольника H₁H₂H₃, будет серединой дуги H₂H₃, то есть точкой W₁ треугольника H₁H₂H₃, а точка A — центром вневписанной

окружности (свойство 4).

По теореме Мансиона ( IW₁ = W₁I_a = W₁B = W₁C): AE₁ = E₁H. Значит, точка совпадает с серединой отрезка IW₁ для треугольника H₁H₂H₃ с точкой E₁. Поскольку точки B и C также центры вневписанных окружностей, то утверждение относительно середин отрезков AH, BH и CH доказано. Докажем, что середины AC, BC и AB (точки M₁, M₂, M₃) принадлежат окружности γ_e.

Воспользуемся свойством вневписанных окружностей с центрами Ib и I_c. Пусть W₁ A — точка, диаметрально противоположная точке W₁. Тогда W₁ A — середина отрезка IbI_c. Пусть окружность γ_e пересекает сторону BC в точке X (рис. 4). Поскольку ∠E₁H₁X₁ = 90°, то точки X и E₁ диаметрально противоположны, а поскольку точка E₁ есть точкой W₁ окружности, то точка X совпадает с серединой отрезка BC (точки B и C — центры вневписанных окружностей). Теорема об окружности Эйлера для треугольника ABC доказана новым способом.

ІІ. Ортоудвоенный треугольник

Высоты AH₁, BH₂, CH₃ продолжим до пересечения с описанной окружностью (рис. 5).

Получим треугольник N_1N2N3, который назовём ортоудвоенным. Поскольку HH₁ = H_1N1, HH₂ = H_2N2, HH₃ = H_3N3, то этот треугольник гомотетичен треугольнику H₁H₂H₃ с центром гомотетии — серединой отрезка OE ( E — центр окружности Эйлера) и коэффициентом гомотетии k =

Свойство 1. Вершины треугольника ABC делят дуги N_2N3, N_3N1, N_1N2 пополам.

Доказательство. Действительно, ∠ N_2N1A = ∠ N_3N1A.

Свойство 2. Высоты треугольника ABC принадлежат биссектрисам внутренних углов треугольника N_1N2N3.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 3. Радиус OA перпендикулярен отрезкам N_2N3 и H₂H₃.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 4. Точка, симметричная ортоцентру H относительно середины M₁ отрезка BC принадлежит окружности, описанной около треугольника

Доказательство. Проведём диаметр AA₁ (рис.6) и найдём точку X, гомотетичную точке A₁. Поскольку A₁X = XH, то отрезок OX — средняя линия треугольника

AA₁H. Значит, он параллелен AH и равен

AH, то есть OX = OM₁ и точка X совпадает с точкой M₁ — серединой отрезка BC.

Свойство 5. Прямая Эйлера. Центроид M треугольника ABC принадлежит отрезку OH.

Доказательство. Проведём отрезок AM₁ (рис. 6). Он пересечёт OH в точке Y. Поскольку то M₁M : AM = 1 : 2, а значит, точка Y совпадает с точкой M₁.

Окружность девяти точек

Около треугольника H₁H₂H₃ опишем окружность γ_e. Её центр делит пополам отрезок OH (точка E). Середины отрезков AH, BH, CH (точки E₁, E₂, E₃) гомотетичны точкам A, B и C и принадлежат окружности γ_e.

Докажем, что точки M₁, M₂, M₃ принадлежат окружности γ_e.

Доказательство. Действительно, точки A₁ и H симметричны относительно точки B. Кроме того, точки A₁ и M₁ гомотетичны, а значит, точка M₁ принадлежит окружности γ_e.

ІІІ. Ортоцентрический треугольник Q₁Q₂Q₃

Опишем окружность около треугольника ABC и построим точки W₁,W₂, W₃ (середины дуг BC, AC, AB) (рис. 7).

Точку пересечения хорд W₂W₃ и AW₁ обозначим Q₁. Аналогично получим точки Q₁ и Q₃. По теореме «листа трилистника» имеем: IW₁ = W₁C. Поскольку ∪ AW₂ = ∪ W₂C, то

а значит, треугольник Q₁Q₂Q₃ — ортоцентрический треугольник треугольника W₁W₂W₃. В равнобедренном треугольнике IW₁C IQ₃ = Q₃C. Аналогично, IQ₁ = Q₁A, следовательно, стороны треугольника Q₁Q₂Q₃ вдвое меньше соответственных сторон треугольника ABC. Поэтому (применяем формулу S = Rp_H ) площадь треугольника W₁W₂W₃ . (1°)

Поскольку окружность, описанная около треугольника Q₁Q₂Q₃, есть окружность Эйлера треугольника W₁W₂W₃, то девять точек принадлежат одной окружности: середины отрезков W₁W₃, W₂W₃, W₁W₂, IW₁, IW₂, IW₃, IA, IB, IC.

ІV. Ортоцентрический треугольник ABC Рассмотрим треугольник, вершины которого — центры вневписанных окружностей I_a, Ib, I_c (рис.8).

Ортоцентрическим треугольником этого

треугольника будет треугольник ABC, так как

каждая из его вершин есть пересечение внутренней и внешней биссектрис. Поскольку радиус окружности, описанной около треугольника ABC будет R, то радиус окружности, описанной около треугольника I_aIbI_c будет 2R, а площадь S_IaIbIc=2R⋅p.

Поскольку окружность, описанная около треугольника ABC, является окружностью Эйлера треугольника I_aIbI_c, то девять точек принадлежат одной окружности: вершины треугольника ABC, точки W₁, W₂, W₃, середины

V. Треугольник, подобный ортоцентрическому треугольнику H₁H₂H₃

Через вершины A, B и C проведём касательные к окружности, описанной около треугольника ABC. Получим треугольник T₁T₂T₃ (рис. 9).

тангенциальным) вычисляют по формуле:

S_T=R⋅p_T, где R — радиус окружности, вписанной в треугольник T₁T₂T₃.

Глава 2. Применение.

§ 1 Применение свойств ортотреугольника для решения задач

Задача 1.

Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?

подобен треугольнику АВС по теореме 1. Коэффициент подобия . В прямоугольных треугольниках и , . Значит, .

Следствием данной задачи будет следующее утверждение: каждая сторона ортотреугольника равна произведению противолежащей стороны на косинус противолежащего угла исходного треугольника.

Задача 2.

Треугольник АВС остроугольный, и угол ВАС равен α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Найдите отношение площадей треугольников АВС и APQ.

Поскольку и — высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому

Задача 3

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF. Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС.

Решение(без применения свойств):

1. Т.к. и согласно задаче 1 , то . ,

Пусть О – центр описанной окружности , R – ее радиус. Тогда Т.к. по т. синусов , то после подстановки, получаем .

Аналогично и , т.е. . Поскольку и , то , что и требовалось доказать.

Решение(без применения свойств):

По свойству 6 . , тогда , что и требовалось доказать.

Задача 4

Треугольник АВС остроугольный, и . Определите углы высотного треугольника.

1. Строим высоты , , .

Задача 5.

Т.к. — равнобедренный, то — высота, медиана, биссектриса ;.

4. Т.к. подобен , то; .

5. ||, а это значит, что подобен .

7. По т. Пифагора .

Задача 6

В равнобедренном треугольнике ABC(AB = BC)проведены высоты AA₁,

Т.к. подобен , то и (1)

по гипотенузе и острому углу, т.к рассматриваемые треугольники прямоугольные, .

Т.к. и , отсекая пропорциональные отрезки, то ||.

Известно, что , , поэтому, подставив данные в (1), получим ,

Глава 3. Анкетирование учащихся

Всем ученикам 10 и 11 классов я задала по 4 вопроса:

Знаете ли вы об ортоцентрических треугольниках?

Применяли ли вы свойства ортоцентрических треугольников при решении задач?

Как вы считаете, можно ли облегчить решение задач, используя эти свойства?

Хотели бы вы научиться решать задачи на применение свойств ортоцентрических треугольников?

Подсчитав ответы «да», я получила следующие результаты:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Ортоцентр.

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
   
2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
   
4. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
5. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
   
6. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
   
7. Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
   
8. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
   

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
4. ,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .

— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).

🎦 Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Радиус описанной окружностиСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.Скачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Описанная окружность треугольника. Нахождение радиуса описанной окружности треугольникаСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

Радиусы вписанной и описанной окружности правильного 6-угольникаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Теорема синусов - радиус описанной окружности #Математика #ЕГЭ #ОГЭ #Геометрия #ТреугольникСкачать

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Как найти радиус описанной окружности?Скачать

За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетиторСкачать