Радиус вписанный треугольник окружности равен расстоянию

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
		Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
	Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Тест по геометрии для 8 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

по геометрии для 8 класса

1.Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его …

в) серединных перпендикуляров.

2. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от …

в) вершин треугольника.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан. Этот треугольник…

4. Окружность называется вписанной в многоугольник, если…

а) все его стороны касаются окружности;

б) все его вершины лежат на окружности;

в) все его стороны имеют общие точки с окружностью.

по геометрии для 8 класса

1. Радиус вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра окружности до …

а) сторон треугольника;

б) вершин треугольника;

в) углов треугольника.

2. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности может лежать…

а) на любой из его высот;

б) на любой из его медиан;

в) на любом из его серединных перпендикуляров.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Этот треугольник может быть…

б) только равносторонним;

в) только прямоугольным.

4. Многоугольник называется описанным около окружности, если …

а) окружность имеет общие точки с его сторонами;

б) окружность проходит через его вершины;

в) окружность является касающейся всех его сторон.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 944 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 318 человек из 68 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 694 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 485 889 материалов в базе

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 17.03.2017
• 1443

• 17.03.2017
• 1175

• 17.03.2017
• 5011

• 17.03.2017
• 786

• 17.03.2017
• 374

• 17.03.2017
• 265

• 17.03.2017
• 298

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.03.2017 6547 —> —> —> —>
• DOCX 13.1 кбайт —> —>
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еленкина Алена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 11 месяцев
• Подписчики: 10
• Всего просмотров: 47118
• Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России запускает конкурс для учителей физкультуры

Время чтения: 2 минуты

WWF выпустил настольную игру об изменении климата

Время чтения: 3 минуты

«Учителя года» проведут открытые занятия для педагогов России

Время чтения: 1 минута

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Ускоренный просмотр онлайн-лекций не мешает их пониманию

Время чтения: 3 минуты

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎥 Видео