Радиус вписанной в дельтоид окружности

Площади четырехугольников

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
		S = 4r 2
Ромб
Трапеция
		S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Радиус вписанной в дельтоид окружности

Дельтоид

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

На уроках геометрии в первой четверти 8 класса мы изучали различные четырехугольники, такие как параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Мы доказывали их свойства и признаки, с помощью которых потом решали различные задачи. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников мы изучили? Пытаясь ответить на этот вопрос, в сети Интернет я наткнулась на еще один четырехугольник – дельтоид. Проведя анализ привычных школьных справочников, а также заглянув в знаменитый справочник Бронштейна, я не нашла никаких сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире, например, крона дерева туя (рис.1), тело рыбы (рис.2), человеческий мозжечок (рис.3), соединенные человеческие руки (рис.4), воздушный змей (рис.5), лист дерева (ри.6), а также форма носа и глаза.

рис.1 рис.2 рис.3 рис. 4

Меня очень заинтересовал данный четырехугольник, и я решила глубже узнать, что это за дельтоид, сформулировать и доказать его свойства и признаки, решить различные задачи с ним, а потом представить свои разработки в виде сайта для своих одноклассников и всех тех, кто интересуется геометрией.

Цель: изучение четырехугольника дельтоид и создание сайта «Все о дельтоиде».

— познакомиться с литературой по данной теме;

— сформулировать различные определения дельтоида;

— сформулировать свойства и признаки дельтоида;

— составить и решить задачи с дельтоидом;

— составить тесты для проверки знаний о дельтоиде;

— создать электронный образовательный ресурс — сайт «Все о дельтоиде», содержащий теоретический и практический материал по данной теме.

Объект исследования: четырехугольник дельтоид.

Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида.

Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, решение задач.

Глава 1. Дельтоид – один из видов четырехугольников

1.1 Определение дельтоида

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта ).

Изучив различную литературу по данной теме, я выделила два определения дельтоида (рис.7):

— Дельтоид — четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.

— Дельтоид – это четырехугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей. [4,5,6,8]

Из определения дельтоида следует, что ромб и квадрат также являются дельтоидами.

Главная диагональ дельтоида — это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида. Неглавной диагональю дельтоида называют вторую диагональ дельтоида.

Средняя линия дельтоида это – отрезок, соединяющий середины соседних сторон дельтоида.

Есть два вида дельтоидов: выпуклый (рис.7) и невыпуклый (рис.8).

Все углы выпуклого дельтоида меньше развёрнутого угла, а один из углов невыпуклого дельтоида больше развёрнутого угла.

1.2 Свойства дельтоида

Изучив литературу, по данной теме, мною были выделены следующие свойства дельтоида (табл.1).

Табл.1 Свойства дельтоида

1) Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

2) Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу, одна из них делит другую на две равные части

3) Во всякий выпуклый дельтоид можно вписать окружность, и только одну

4) Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

5) Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов

6) Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

7) Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида

8) Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей

9) Площадь дельтоида равна произведению двух его неравных сторон на синус угла между ними

Проведя сравнительный анализ со свойствами изученных четырехугольников, я выделила общие свойства дельтоида, ромба и квадрата:

— диагонали взаимно перпендикулярны;

— площадь равна половине произведения диагоналей;

— средние линии образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Также в любой выпуклый дельтоид, как и в квадрат, можно вписать окружность, и только одну.

Мною были определены и различия в свойствах дельтоида и других изученных четырехугольников. У дельтоида:

— только одна пара равных противолежащих углов (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – две);

— только одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ делит на два равных треугольника (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов (у ромба – обе диагонали);

— только неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника (у квадрата и ромба – обе диагонали).

1.3 Признаки дельтоида

Можно выделить четыре признака дельтоида (табл.2).

Табл.2 Признаки дельтоида

1)Если у четырёхугольника только одна ось симметрии, проходящая через диагональ, то это дельтоид

2) Если четырёхугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

3) Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны и только одна из них делит другую пополам, то это дельтоид

4) Если в четырёхугольнике только одна диагональ является биссектрисой противоположных углов, то это дельтоид

1.4 Задачи с дельтоидом

Изучив некоторые российские учебные пособия по математике [1], я не встретила системы задач про дельтоид. Однако мы встречались с этой геометрической фигурой на уроках геометрии еще в 7 классе (УМК по ред. А.Г.Мерзляка [2,3]), когда решали задачи на применение признаков равенства треугольников (№161 (рис.9), №176 (рис.10)) и задачи по теме «Касательная к окружности» (№523 (рис.11)).

рис.9 рис.10 рис.11

Изучив признаки и свойства дельтоида, я попыталась составить достаточное количество разнообразных и интересных задач с дельтоидом вычислительного характера. Примеры таких задач приведены ниже, для некоторых из них рассмотрено решение. [7]

Одна из диагоналей дельтоида равна 16 см, а его площадь – 120 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

120 = ·16· d ₂; 120 = 8· d ₂; d ₂ = 120 : 8; d ₂ = 15 см

Найти стороны дельтоида, если его периметр

равен 116 см, а разность боковых сторон равна

Ответ: АВ=30,5 см; ВС=30,5 см; CD =27,5 см; AD =27,5 см

На сторонах АВ и ВС прямоугольника АВС D взяты точки К и О соответственно так, что КВ = ВО, а на стороне А D взята точка Е так, что КЕ = ОЕ. Найти АВЕ.

1)В = 90°, так как АВС D — прямоугольник.

2)Рассмотрим четырёхугольник КВОЕ.

КВ=ОВ (по условию); КЕ=ОЕ (по условию).

Значит, КВОЕ – дельтоид по определению.

3)ВЕ – главная диагональ дельтоида, следовательно, она является биссектрисой противолежащих углов дельтоида, т.е. АВЕ= В. Значит, АВЕ= · 90° = 45°.

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки F , D и E такие, что ЕС : АЕ = 2 : 1, F Е = D Е, А F = 2 см, D С = 5 см, F В = В D . Найдите F В.

1) Так как FE = DE , FB = BD по условию, то BDEF – дельтоид по определению.

2) BE – главная диагональ дельтоида, а, значит, и биссектриса B (по свойству дельтоида).

По свойству биссектрисы или .

Пусть FB = BD =х, тогда

Равные стороны АВ и ВС дельтоида АВС D перпендикулярны и равны

2 см, К – точка пересечения диагоналей АС и В D , АК = КС. Из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне С D , СЕ = 1 см. Найдите Е D .

∆ ABC – равнобедренный прямоугольный

треугольник, т.к. AB = BC и АВ ВС. По теореме Пифагора + = ,

2) Т.К. АК = КС по условию, то АК = КС = 2 см. рис.15

3) AC BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный.

КС² = CE ∙ CD (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике)

1.5 Тесты по теме «Дельтоид»

Рассмотрев свойства и признаки дельтоида, изучив возможность их применения для решения задач, я составила тесты для проверки знаний по теме «Дельтоид».

Обобщающий тест «Всё о дельтоиде»

Форму какого из четырехугольников имеет мозжечок человека:

Выберите верное утверждение:

Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон

Дельтоид – это четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны

Выберите неверное утверждение:

Главная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида

Дельтоид – это четырехугольник, в котором две пары соседних сторон равны

Неглавная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины равных углов дельтоида

Средняя линия дельтоида – это отрезок, соединяющий стороны дельтоида

Какой четырехугольник может быть невыпуклым:

Выберите верное утверждение:

Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид

Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

Если в четырехугольнике диагонали является биссектрисами противолежащих углов, то это дельтоид

Если в четырехугольнике есть пара равных соседних сторон, то это дельтоид

Выберите неверное утверждение:

Все углы дельтоида равны

Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

Выберите верное утверждение:

Около всякого выпуклого дельтоида можно описать окружность

Все стороны дельтоида равны

Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

В выпуклом дельтоиде один из углов больше развёрнутого

У какого четырехугольника только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов:

В дельтоиде смежные стороны относятся как 3 : 5. Найдите большую сторону дельтоида, если его периметр равен 48 см.

Одна из диагоналей дельтоида равна 18 см, а его площадь – 234 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

АВС D – дельтоид. Треугольник АВС равносторонний, и его периметр равен 30 см. Треугольник АС D – равнобедренный, и его периметр равен 46 см. Найдите периметр дельтоида АВС D .

1.6 Создание электронного образовательного ресурса – сайт «Все о дельтоиде»

Проделав работу по формулированию и доказательству свойств и признаков дельтоида, составлению и решению задач на вычисление различных величин в дельтоиде, созданию тестов по теме «Дельтоид», весь разработанный материал я оформила в виде сайта «Все о дельтоиде», размещенного по адресу https://sites.google.com/view/deltoid-na5 .

Данный сайт можно использовать для объяснения материала о дельтоиде на уроках геометрии и во внеурочной деятельности, для самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе решения интерактивных тестов.

Данный сайт состоит из шести разделов:

1 раздел — Главная страница (рис. 16) — содержит общую информацию о создателе сайта, а также рассмотрены примеры дельтоидов из окружающей обстановки.

2 раздел — «Что такое дельтоид» (рис.17), в котором приведены различные определения дельтоида, рассмотрены его элементы.

3 и 4 разделы — «Свойства дельтоида» и «Признаки дельтоида» (рис.18. рис.19). В этих разделах сформулированы характерные для дельтоида свойства и признаки.

5 раздел – «Задачи и дельтоидом» (рис.20). На этой странице приведены решения некоторых задач на вычисление различных элементов дельтоида, а также предложены задачи для самостоятельного решения.

6 раздел – «Тесты по теме «Дельтоид» (рис.21, рис.22). В этом разделе можно проверить свои знания по данной теме с помощью предложенных интерактивных тестов.

На одном из уроков геометрии я предложила своим одноклассникам познакомиться с дельтоидом, изучив материал на сайте «Все о дельтоиде» (рис.23, рис.24, рис. 25).

рис.23 рис.24 рис.25

Мне было очень интересно узнать мнение ребят о моем электронном образовательном ресурсе – сайте «Все о дельтоиде». Вот некоторые из высказываний.

Таня Т.: «Очень интересно было узнать об еще одном четырехугольнике – дельтоиде».

Оля П.: «Информация изложена доступно и понятно. Понравилось самостоятельно решать задачи с дельтоидом».

Антон Р.: «Оказывается, что дельтоид окружает нас повсюду».

Настя К.: «Изучив определение, свойства и признаки дельтоида и решив задачи для самостоятельной работы, я практически без ошибок прошла интерактивное тестирование».

В данной работе изучена неизвестная в школьном курсе математики геометрическая фигура – дельтоид, которая, однако, встречается очень часто в нашей жизни. Была проделана работа по формулированию свойств и признаков этого четырехугольника, составлено достаточное количество разнообразных задач на вычисление различных элементов дельтоида, также были разработаны тесты для оценки знаний по данной теме. Весь накопленный материал я оформила в виде электронного образовательного ресурса – сайта «Все о дельтоиде», который был предложен моим одноклассникам на одном из уроков геометрии и получил положительные отзывы.

Таким образом, цели, стоящей перед нами, мы достигли – изучен четырехугольник дельтоид. Я бы порекомендовала использовать созданный электронный продукт на урочной и внеурочной деятельности для объяснения материала по данной теме, самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе выполнения интерактивных тестов.

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2017

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018

Перельман Я.И. Занимательная алгебра, геометрия. М.: Книга, 2005

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.

Шноль Д, Сгибнев А, Нетрусова Н. Система открытых задач по геометрии: 8 класс – М.: Чистые пруды, 2009. – 32 с.: ил. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 29).

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. -М.:Педагогика,1989.-352с.

http :// math 4 school . ru / chetyrehugolniki . html

Дельтоид.

Дельтоид — четырехугольник, который содержит 2 пары смежных сторон, имеющих одинаковую длину.

Дельтоид бывает выпуклым или невыпуклым:

На рисунке слева изображен выпуклый дельтоид, справа — невыпуклый.

Свойства дельтоида.

1. Углы меж сторонами разной длины имеют равную величину.

2. Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу.

3. Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность, а также, если дельтоид имеет вид ромба, то есть еще одна окружность, которая касаюется продолжений всех 4-х сторон. Для невыпуклого дельтоида может быть построена окружность, которая касается 2-х бОльших сторон и продолжений 2-х меньших сторон и окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х бОльших сторон.

4. Одна диагональ точкой пересечения делится на две равные части.

5. Одна диагональ оказывается биссектрисой углов.

6. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равнобедренных треугольника.

7. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равных треугольника.

8. Прямые, которые содержат диагонали всех дельтоидов, пересекаются под углом, равным 90 градусам.

Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность.

Если выпуклый дельтоид не оказывается ромбом, значит, есть окружность, которая касается продолжений каждой их 4-х сторон нашего дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида строится окружность, которая касается 2-х сторон большей длины и продолжений 2-х меньших сторон, а также окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х сторон большей длины.

Около дельтоида описывается окружность только в том случае, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90 градусов.

Радиус окружности, которая описана вокруг дельтоида можно вычислить через 2 его разные стороны:

Площадь дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

• через диагонали дельтоида:

• через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

где a и b длины разных сторон, а α угол между ними.

Частные случаи.

1. Когда угол меж разных сторон дельтоида равен 90 градусам, значит, около него можно описать окружность (вписанный дельтоид).

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом. Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

💥 Видео