Радиус вписанной окружности в треугольник равен 16 (6 видео)

Радиус вписанной окружности в треугольник равен 16

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:

значит,

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Содержание

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примеры задач
Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника
2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника
3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними
4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла
📺 Видео

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачуСкачать

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

где a – сторона треугольника.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника

Пусть известна площадь S треугольника и полупериметр

( small p=frac )

(1)

где a, b, c стороны треугольника (Рис.1).

Радиус вписанной окружности в треугольник равен 16

Найдем радиус вписанной в треугольник окружности r.

Из центра O вписанной в треугольник окружности проведем перпендикуляры к сторонам треугольника. Все эти перпендикуляры равны радиусу r вписанной в треугольник окружности (Рис.2).

Прямыми OA, OB, OC разделим треугольник ABC на три треугольника: AOC, COB, AOB. Найдем площадь треугольников AOC, COB, AOB:

( small S_=frac cdot r cdot b ,) ( small S_=frac cdot r cdot c, ) ( small S_=frac cdot r cdot a )

(2)

( small S=S_+S_+S_)( small =frac cdot r cdot b ) ( small +frac cdot r cdot c ) ( small +frac cdot r cdot a ) ( small =frac cdot r cdot ( a+b+c) )

(3)

( small S=r cdot p. )

(4)

Найдем радиус r вписанной в треугольник окружности из равенства (4):

( small r=frac. )

(5)

Пример 1. Известны площадь ( small S=17 ) и полупериметр ( small p=10 ) треугольника. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности воспользуемся формулой (5).

Подставим значения ( small S=17 ) и ( small p=10 ) в (5):

Ответ:

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.Скачать

2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника

Пусть известны три стороны треугольника: a, b, c. Найдем радиус вписанной в треугольник окружности (Рис.3).

Площадь треугольника по трем сторонам вычисляется из формулы:

(6)

где полупериметр p вычисляется из формулы (1).

Подставляя (6) в (5), получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=sqrt<frac>, )

(7)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=15 ,; b=7, ; c=9.) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала полупериметр треугольника из формулы (1):

Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):

Ответ:

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними

Пусть известны стороны b и c треугольника и угол A между ними (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Из теоремы косинусов найдем сторону a треугольника:

(8)

Далее, для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности, воспользуемся формулой (7), где полупериметр p вычисляется из (1).

Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=9 ,; c=7, ; ) и угол меджу ними A=30°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала сторону a треугольника из формулы (8):

Далее найдем p из формулы (1):

Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):

Ответ:

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла

Пусть известны сторона a треугольника и прилежащие два угла B и C (Рис.5). Найдем радиус вписанной в треугольник окружности.

(9)

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем ( small angle A=180°-(angle B+angle C). ) Из формул приведения тригонометрических функций имеем: ( small sin A=sin (180°-( B+ C)) ) ( small =sin (B+C). ) Тогда формулы (9) можно переписать так:

(10)

Получая значения сторон b, c из (10) и значение p из (1), можно найди радиус вписанной в треугольник окружности из формулы (7). Таким образом, для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону и прилежащим двум углам применяется формула

(11)

(12)

(13)

(14)

Пример 4. Сторона треугольника равена: ( small a=7 ,) а прилежащие два угла равны соответственно ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Найдем, сначала, стороны b и c из формул (12),(13). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) в (12) и (13):