В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом

Теорема

Доказательство

Доказать: в многоугольник А₁А₂А₃. А_n можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

А₁ОА₂ = А₂ОА₃ = . = А₁ОА_n по трем сторонам (ОА₁ = ОА₂ = . = ОА_n, как радиусы описанной окружности и А₁А₂ = А₂А₃ = . = А_nА₁, как стороны правильного многоугольника), тогда и высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ = . = ОН_n. Следовательно, окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки Н₁, Н₂, . , Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник А₁А₂А₃. А_n.

Докажем, что вписать можно только одну окружность.

Пусть существует окружность с центром О₁, вписанная в многоугольник А₁А₂А₃. А_n, отличная от окружности с центром О и радиусом ОН₁. Тогда ее центр О₁ равноудален от сторон многоугольника, т.е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника А₁А₂А₃. А_n и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис (смотри теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника). Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника,т.е. равен ОН₁. Значит, получаем, что вторая окружность совпадает с первой. Следовательно, наше предположение неверно, и в правильный многоугольник вписать можно только одну окружность. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

§ 1. Правильные многоугольники

Правильный многоугольник

Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади многоугольников. Вам известны формулы, по которым можно вычислить площади треугольника и некоторых четырёхугольников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми геометрическими фигурами — правильными многоугольниками, вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью мы получим формулы длины окружности и площади круга.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 306 изображены правильные пятиугольник, семиугольник и восьмиугольник.

Выведем формулу для вычисления угла α_n правильного n-угольника. Сумма всех углов такого n-угольника равна (n — 2) • 180°, причём все его углы равны, поэтому

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Пусть А₁А₂А₃. А_n — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А₁ и А₂ (рис. 307).

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА₁ = ОА₂ = . = ОА_n. Так как ∠A₁ = ∠A₂, то ∠1 = ∠3, поэтому треугольник А₁А₂O равнобедренный: в нём ОА₁ = ОА₂. Треугольники А₁A₂О и А₂А₃О равны по двум сторонам и углу между ними (A₁A₂ = А₃А₂, А₂O — общая сторона и ∠3 = ∠4), следовательно, ОА₃ = ОА₁. Точно так же можно доказать, что ОА₄ = ОА₂, ОА₅ = ОА₃ и т. д.

Итак, ОА₁ = ОА₂ = . = ОА n, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А₁, А₂, А₃. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁A₂A₃. A_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Пусть А 1А₂. А_n — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ΔОА₁А₂ = ΔОА₂А₃ = . = ΔОА_nА₁, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ =. = ОН_n. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки H₁, Н₂, . Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН₁ есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А₁А₂. А_n. Тогда её центр О₁ равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Пусть S — площадь правильного n-угольника, а_n — его сторона, Р — периметр, а r и R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьётся на n равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна Следовательно,

Выведем далее формулы:

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В прямоугольном треугольнике А₁Н₁О

Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Построение правильных многоугольников

Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных п-угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А₁ (рис. 309). Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ так, чтобы выполнялись равенства А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.

Пусть A₁A₂. A_n — данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁ и А₂ и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА₁ (см. рис. 307).

Для решения задачи достаточно разделить дуги А₁А₂, А₂А₃, . A_nA₁ пополам и каждую из точек деления В₁, В₂, . В_n соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 310, на этом рисунке n = 6). Для построения точек В₁, В₂, . В_n можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного n-угольника. На рисунке 310 таким способом построен правильный двенадцатиугольник A₁B₂А₂B₂. A₆B₆.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2 k -угольник, где k — любое целое число, большее двух.

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Задачи

1078. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

1079. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

1080. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.

1081. Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 10; д) n = 18.

1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

1083. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?

1084. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?

1085. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

1086. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

1087. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, г — радиус вписанной окружности).

1088. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а₃ — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

1092. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

1093. Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1094. Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, Р = 24см; в) n = 6, r = 9см; г) n = 8, r = 5√3 см.

1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

1098. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

1099. Правильный восьмиугольник A₁A₂. A₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А₃А₄А₇А₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.

Ответы к задачам

1078. а) Да; б) нет.

1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°.

1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.

1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.

1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности.

1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.

1087.
1) R=3√2, r = 3, Р = 24, S = 36;
2) R = 2√2, а₄ = 4, Р = 16, S = 16;
3) r = 2√2, а₄ = 4√2, Р = 16√2, S = 32;
4) R = 3,5√2, r = 3,5, а₄ = 7, S = 49;
5) R = 2√2, r = 2, а₄ = 4, Р = 16.

1088.
1) r = 1,5, а₃ = 3√3, Р = 9√3,
2)
3) R = 4, а₃ = 4√3, Р = 12√3, S = 12√3;
4)
5), а₃ = 2, S = √3.

1094. a) 36 см 2 ; 6) 16√3 см 2 ; в) 162√3 см 2 ; r) ≈ 248,52 см 2 .

1095.

1098. a) 2√3r, 6√3r, 3√3r 2 ; б) √3R, 3√3R,

1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 113.

Видео:Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | ИнфоурокСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

📸 Видео

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 классСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Скачать

Правильные многоугольники. Урок 11. Геометрия 9 классСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 21 урок, Правильный многоугольникСкачать

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать

Правильный многоугольник и его окружностиСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Правильные многоугольники. Окружность, описанная около правильного многоугольника, вписанная в него.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Правильные многоугольники. Урок 12. Геометрия 9 классСкачать