Радиус вписанной окружности к касательной

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Радиус вписанной окружности к касательнойСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Радиус вписанной окружности к касательнойФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Радиус вписанной окружности к касательнойВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Радиус вписанной окружности к касательной

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Радиус вписанной окружности к касательной

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Радиус вписанной окружности к касательной

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Радиус вписанной окружности к касательной

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Радиус вписанной окружности к касательной

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Радиус вписанной окружности к касательной

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Радиус вписанной окружности к касательной

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Радиус вписанной окружности к касательной.

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности к касательной

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРадиус вписанной окружности к касательной
Равнобедренный треугольникРадиус вписанной окружности к касательной
Равносторонний треугольникРадиус вписанной окружности к касательной
Прямоугольный треугольникРадиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности к касательной.

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности к касательной.

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности к касательной

Произвольный треугольник
Радиус вписанной окружности к касательной
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной окружности к касательной
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности к касательной
Прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности к касательной
Произвольный треугольник
Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности к касательной.

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности к касательной.

Равнобедренный треугольникРадиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Равносторонний треугольникРадиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРадиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности к касательной

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Радиус вписанной окружности к касательной– полупериметр (рис. 6).

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

с помощью формулы Герона получаем:

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности к касательной

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности к касательной

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Радиус вписанной окружности к касательной

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Радиус вписанной окружности к касательной

Радиус вписанной окружности к касательной

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Касательная к окружности

    Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

    Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    . Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

    . Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

    . Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

    Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

    . К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
    Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
    Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

    . Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

    Радиус вписанной окружности к касательной

    Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
    Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

    Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
    Очевидно, что площадь многоугольника .
    Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

    🔍 Видео

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

    Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа

    Построение касательной к окружностиСкачать

    Построение касательной к окружности

    Касательная к окружности и её свойстваСкачать

    Касательная к окружности и её свойства

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Угол между хордой и касательнойСкачать

    Угол между хордой и касательной

    Геометрия 5. Касательная к окружности.Скачать

    Геометрия 5. Касательная к окружности.

    Построение касательной к окружности.Скачать

    Построение касательной к окружности.

    Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

    Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия
    Поделиться или сохранить к себе: