Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а 2 + b 2 = с 2 . Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.
Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h. Но по условию задачи а 2 + b 2 = с 2 . Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС — прямой.
В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.
Рис.2 Египетский треугольник.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:
Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.
Отсюда можно сделать следующие выводы:
AB = BC sin α AC = BC cos α AB = AC tg α AC = AB ctg α
Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать
4.Основные тригонометрические тождества
Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)
Рис.4 Основные тригонометрические тождества.
5.Пример 1
У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)
Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.
Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.
Пример 2
Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)
Решение:
Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.
По теореме Пифагора:
АВ 2 = AE 2 + BE 2
Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.
Пример 3
Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)
Доказательство:
Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.
Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:
АС = АВ сos α + ВС cos β
Тогда отрезок DE будет равен:
DE = DB сos α + ВE cos β
Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.
Пример 4
Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)
Доказательство:
Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как
h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)
Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.
Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.
Пример 5
Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)
Доказательство:
Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС
Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.
Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что
Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.
Рис.9 Задача. Даны три положительных числа.
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Радиус вписанной окружности в египетский треугольник. Вписанная и вневписанная окружность
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
Длин сторон треугольника.
Его площади.
Его периметра.
Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
Для начала нужно удвоить величину площади.
Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b , а гипотенуза — переменной с .
Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ , во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA .
Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем -величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.
Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра . Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).
Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника
На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.
Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла , после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.
На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя ?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.
Видео:Полуокружность в египетском треугольнике.Скачать
Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника
Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:
Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.
Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов
Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:
Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:
Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:
Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.
Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.
Исчисление радиуса вписанной окружности
Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:
площадь;
градусная мера каждого угла;
длины сторон и периметр.
Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника
Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).
Использование полупериметра
Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:
Если дан «правильный»
Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке . Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым , скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:
Если боковины одинаковой длины
Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:
Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.
Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности
Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:
Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:
Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:
При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:
В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:
Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.
Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать
Радиус внутренней окружности и площадь
Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника :
Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:
Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.
Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.
Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс
Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность
Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.
Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R
Площадь круга : S=pi R^
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
Используя градусную меру: CD = frac<pi R alpha ^><180^>
Используя радианную меру: CD = alpha R
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
angle COD = cup CD = alpha ^
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
angle AOB = 2 angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ .
angle ADB + angle AKB = 180^
angle ADB = angle AEB = angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac left (cup DmC + cup AlB right)
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
angle M = angle CBD — angle ACB = frac left (cup DmC — cup AlB right)
Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^ .
angle A + angle C = angle B + angle D = 180^
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot AD
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба. Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами
Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.
Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:
Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать
2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали
Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности , где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам. т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора , подставляем в формулу ранее полученные значения
AB = 25 см Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
Видео:Важная формула для ЕГЭ! Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольникаСкачать
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF=m, BF=n. Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности. Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. , т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу. Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности
Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.
Видео:Радиус вписанной в ромб окружности (6701)Скачать
Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула
Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.
Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.
Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр: p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Подставляем значения в формулу и получаем: R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.
Ответ: R = 126/16√5
Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.
Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.
Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.
Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.
В данном выражение 5 – длина гипотенузы.
Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.
Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.
Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).
R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.
Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности
Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:
( small R=frac )
где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:
( small R=frac=frac, )
( small R=frac. )
(1)
Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).
Подставим значение ( small c=frac ) в (1):
Ответ:
2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).
Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:
Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):
Ответ:
3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):
(4)
4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:
( small angle A+angle B=90°. )
( small angle A=90°-angle B. )
(5)
Подставляя (5) в (4), получим:
( small R=frac=frac) ( small =frac )
( small R=frac. )
(6)
Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):
.png)
, подставляем в формулу ранее полученные значения
