Радиус вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

• все углы прямые, то есть, равны 90°;
• все стороны, как и углы, равны;
• диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Окружность описанная около квадрата

Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

• угол CDA=90°;
• стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
• угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
, отсюда
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

• треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
• ОЕ=ЕС=;
• ОЕС=90°;
• ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.

Видео:2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2Скачать

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Видео:R и r для квадрата. Как вывести формулы радиуса вписанной и описанной окружностей для квадрата.Скачать

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

(13)

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Видео:Радиус окружности, описанной около квадрата...Скачать

Тестовая работа по геометрии для 9 класса на тему «Длина окружности и площадь круга»

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

1. Четырехугольник является правильным, если:

а)все его углы равны между собой;

б)все его стороны равны между собой;

в)все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.

2. Длина окружности больше диаметра в….

а) 2 раз ; б) раз; в) 2 раза.

3. Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

а) l = ; б) l = ; в) l = ;

4. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна:

5. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности равно:

6. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности равно:

7. Каждый угол правильного десятиугольника равен:

а) 140 б) 135 ; в) 144

8. Внешний угол правильного двенадцатиугольника равен:

а) 36 ; б) 30 ; в) 45

9. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90. Чему равна площадь оставшейся части круга?

а) 100 см2 ; б) 400 см2 ; в) 300 см2 ;

10. Длина дуги окружности с радиусом 12 см и градусной мерой 100 равна:

11. В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Периметр треугольника равен 30 см, периметр квадрата равен:

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

1. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он:

а) всегда является правильным;

б) может быть правильным;

в) никогда не является правильным.

2. Длина окружности больше радиуса в

а) 2 раз ; б) раз; в) 2 раза.

3. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

а) S = ; б) S = ; в) S = ;

4. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна:

5. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в квадрат окружности равно:

6. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности равно:

7. Каждый угол правильного восьмиугольника равен:

а) 135 б) 144 ; в) 140 ;

8. Внешний угол правильного двадцатиугольника равен:

а) 20 ; б) 22,5 ; в) 18 ;

9. Из круга, радиус которого равен 30 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 60. Чему равна площадь оставшейся части круга?

а) 150 см2 ; б) 750 см2 ; в) 900 см2 ;

10. Длина дуги окружности с радиусом 6 см и градусной мерой равна 135 равна:

а) см; б) 9 см; в) см ;

11. Площадь круга равна 256. Вычислите длину окружности, радиус которой в два раза больше радиуса круга.

а) 16 ; б) 32 ; в) 64 ;

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

Просмотр содержимого документа
«Тестовая работа по геометрии для 9 класса на тему «Длина окружности и площадь круга»»

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

Четырехугольник является правильным, если:

а)все его углы равны между собой;

б)все его стороны равны между собой;

в)все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.

2. Длина окружности больше диаметра в….

а) 2 раз ; б) раз; в) 2 раза.

3. Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

а) l = ; б) l = ; в) l = ;

4. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна:

а) R ; б) R ; в) R ;

5. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности равно:

а) ; б) 2 ; в) ;

6. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности равно:

а) ; б) ; в) ;

7. Каждый угол правильного десятиугольника равен:

а) 140 б) 135; в) 144

8. Внешний угол правильного двенадцатиугольника равен:

а) 36; б) 30; в) 45

9. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90. Чему равна площадь оставшейся части круга?

а) 100см 2 ; б) 400см 2 ; в) 300см 2 ;

10. Длина дуги окружности с радиусом 12 см и градусной мерой 100 равна:

а) см; б) см; в) см

11. В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Периметр треугольника равен 30 см, периметр квадрата равен:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

Если в четырехугольнике все стороны равны, то он:

а) всегда является правильным;

б) может быть правильным;

в) никогда не является правильным.

2. Длина окружности больше радиуса в

а) 2 раз ; б) раз; в) 2 раза.

3. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

а) S = ; б) S = ; в) S = ;

4. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна:

а) R ; б) R ; в) R ;

5. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в квадрат окружности равно:

а) 2 ; б) ; в) ;

6. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности равно:

а) ; б) ; в) ;

7. Каждый угол правильного восьмиугольника равен:

а) 135 б) 144; в) 140;

8. Внешний угол правильного двадцатиугольника равен:

а) 20; б) 22,5; в) 18;

9. Из круга, радиус которого равен 30 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 60. Чему равна площадь оставшейся части круга?

а) 150см 2 ; б) 750см 2 ; в) 900см 2 ;

10. Длина дуги окружности с радиусом 6 см и градусной мерой равна 135 равна:

а) см; б) 9см; в) см ;

11. Площадь круга равна 256. Вычислите длину окружности, радиус которой в два раза больше радиуса круга.

а) 16; б) 32; в) 64;

Тематический тест по теме «Длина окружности и площадь круга»

💡 Видео

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

Квадрат в окружности или окружность в квадрате #ShortsСкачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать