Радиус вектор материальной точки в начальный момент времени скорость зависит от времени по закону (4 видео)

Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Содержание

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор
Вектор скорости материальной точки
Пример нахождения вектора скорости
Как найти вектор ускорения материальной точки
Модуль вектора скорости точки
Модуль вектора ускорения
Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения
Радиус вектор материальной точки в начальный момент времени скорость зависит от времени по закону
Разделы
Дополнительно
Задача по физике — 14807
Задача по физике — 14808
Задача по физике — 14809
Задача по физике — 14810
Задача по физике — 14811
Задача по физике — 14812
Задача по физике — 14813
Задача по физике — 14814
Задача по физике — 14815
Задача по физике — 14816
Задача по физике — 14817
Задача по физике — 14818
Задача по физике — 14819
Задача по физике — 14820
Задача по физике — 14821
Тема 1.6. Основные понятия кинематики
🌟 Видео

Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Видео:Радиус векторСкачать

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Видео:Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Видео:Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Видео:Лекция 3.4 | Перемещение и скорость материальной точки | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Видео:Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Радиус вектор материальной точки в начальный момент времени скорость зависит от времени по закону

Видео:10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать

Разделы

Видео:Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Дополнительно

Задача по физике — 14807

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a = alpha sqrt$, где $alpha$ — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_$. Какой путь $s$ она пройдет до остановки? За какое время $tau$ этот путь будет пройден?

Задача по физике — 14808

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость $omega$ зависит от угла поворота $phi$ по закону $omega = omega_ — b phi$, где $omega_$ и $b$ положительные постоянные. В момент времени $t = 0$ угол поворота $phi = 0$. Найти зависимость от времени : 1) угла поворота; 2) угловой скорости.

Задача по физике — 14809

Частица движется по закону $vec = B sin omega t vec + A sin 2 omega t vec$ [м], где $A, B, omega$ — постоянные. Найти уравнение траектории.

Задача по физике — 14810

Законы движения двух материальных точек имеют вид $vec_ = (2t — 1) vec$ [м], $vec_ =(8 — t) vec$ [м]. В какой момент времени расстояние между точками будет минимальным? Чему оно равно?

Задача по физике — 14811

Частица движется по закону $vec = alpha t vec + ( beta — gamma t ) vec$ [м], где $alpha = 1 м/с, beta = 4 м, gamma = 3 м/с$. Найти уравнение траектории и вектор перемещения за первые три секунды движения.

Задача по физике — 14812

Материальная точка начала движение из начала координат и движется так, что ее скорость зависит от времени по закону $vec_ = ( alpha t^ + beta t) vec + gamma t^ vec$ [м/с]. Одновременно вторая точка начала движение и движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону $vec_ = delta t^ vec + theta t^ vec$ [м], где $alpha, beta , gamma , delta , theta$ — постоянные. Найти угол $phi$ между ускорениями точек через промежуток времени $tau$ после начала движения.

Задача по физике — 14813

Найти среднюю путевую скорость мотоциклиста, если на прохождение трех участков трассы, длины которых относятся как 3:5:7, он затратил промежутки времени, находящиеся в отношении 5:7:9. Скорость на первом участке пути $v = 100 км/ч$, на последующих участках он также двигался равномерно.

Задача по физике — 14814

Материальная точка движется по закону $vec = (1 — 3t + t^) vec$ [м]. Найти среднюю путевую скорость за три секунды после начала движения.

Задача по физике — 14815

Радиус-вектор частицы меняется по закону $vec = vec (t — alpha t^)$, где $alpha$ — постоянная, $vec$ — постоянный вектор. Через какое время после начала движения частица вернется в исходную точку, и какой путь она при этом пройдет?

Задача по физике — 14816

Частица начала движение из начала координат так, что ее скорость меняется по закону $vec = vec_ left (1 — frac right )$, где $vec_$ — начальная скорость, $v_ = 0,1 м/с, tau = 5 с$. В какие моменты времени частица будет находиться на расстоянии 0,1 м от начала координат?

Задача по физике — 14817

Точка начинает движение из начала координат со скоростью, закон изменения которой представлен в виде $vec = alpha sin left ( frac t right ) vec + beta cos left ( frac t right ) vec$ [м/с], где $alpha = 2 beta = pi$ [м/с]. Найти угол между вектором ускорения и радиус-вектором в момент времени $t_ = 1с$.

Задача по физике — 14818

Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью $vec_$. За какое время она остановится, и какой путь до остановки пройдет, если начнет торможение с ускорением, величина которого изменяется по закону $a = beta sqrt, beta = const, beta > 0 $?

Задача по физике — 14819

Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли с постоянной вертикальной скоростью $v_$. При этом дует горизонтальный ветер, благодаря которому шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_ = alpha y$, где $alpha$ — постоянная, $y$ — высота подъема. Найти на какое расстояние $s$ по горизонтали будет снесен ветром шар к моменту времени, когда он поднимется на высоту $h$.

Задача по физике — 14820

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $phi = alpha t — beta t^$ [рад], где $alpha = 6 рад/с, beta = 2 рад/с^$. Найти среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от $t = 0$ до остановки.

Задача по физике — 14821

В условиях 14820 задачи найти угловое ускорение в момент остановки тела.

Видео:Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Тема 1.6. Основные понятия кинематики

§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение — это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Тело отсчета — тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета — это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Рис.1. Система отчета

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Радиус-вектор точки М — направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2).

Координата х точки М — это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами — координатами (рис. 3).

Рис.2. Радиус-вектор

Рис.3. Координаты точки М

Материальная точка — тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s — скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Перемещение тела за определенный промежуток времени — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М₀) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Проекция перемещения на ось Ох: ∆r_x =∆х = х-х₀, где x₀ и x — координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Видео-урок «Механическое движение»

§2. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 4).

Рис.4. Движение точки М

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движения точки.

Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движения точки.

Рис.5. Движение точки М

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).

Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M₁, М₂. . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).

§3. Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость — мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.

Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.