У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Сторону AC найдем по теореме синусов:
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>
Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности:
окружность (O, R) — описанная,
I. Если треугольник ABC — остроугольный.
Проведем из точки B диаметр BD.
∠D=∠A=α (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду BC).
∠BCD=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Из прямоугольного треугольника BCD по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника
Что и требовалось доказать.
I. Если треугольник ABC — тупоугольный.
В этом случае четырехугольник ABCD — вписанный в окружность, а значит, сумма его противолежащих углов равна 180º:
Отсюда ∠D=∠A=180º — α.
дальнейшее решение совпадает с решением I.
III. Если треугольник ABC — прямоугольный.
Видео:Теорема синусов и косинусов. Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностиСкачать
Расширенная синусов теорема с примерами
При подготовке к ЕГЭ по математике одиннадцатиклассник должен помнить базовый набор формул, которые помогут решать задачи. Одной из них является синусов теорема, которая отражает взаимосвязь между сторонами и углами треугольника. Напомним, доказательство теоремы учить не нужно, поскольку экзамен ориентирован на проверку практических навыков. Лучше посвятить время разбору примеров, в которых можно применить указанную математическую закономерность.
Видео:#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать
Теорема синусов с примерами
Человечество знакомо с теоремой синусов довольно давно — еще в начале XXI века ее доказательство приводил в своей работе «Книга о неизвестных дугах сферы» западноарабский астроном и математик Ибн Муаз аль-Джайяни.
Существует два варианта теоремы синусов:
обычный — устанавливает соотношения между сторонами треугольника и синусами его углов;
расширенный — связывает соотношение сторон треугольника с радиусами описанной окружности.
Формулировка обычной синусов теоремы: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны или стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Синусов теорема с примерами
Пример 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 5 см, а синус противолежащего угла АСВ = 3/5. Найти сторону ВС, если синус угла САВ, прилежащего к стороне АВ, равен 1/2.
Решение
Составим соотношение фигурирующих в условии сторон и синусов их углов:
АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ.
Подставим известные значения:
Выразим из этого выражения ВС:
ВС = (5 : 3/5) : 1/2 = 5 : 1/2 = 10 см.
Ответ: ВС = 10 см.
Пример 2. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, а противолежащий угол АСВ = 30°. Найти остальные стороны, если угол САВ равен 60°.
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся прилагаемой таблицей, в которой указаны значения синусов основных углов. В остальном ход решения будет аналогичен предыдущему примеру за исключением одного маленького хода. Для начала составим соотношение сторон и синусов противолежащих углов:
АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС.
На первом этапе нам известны только три из шести членов этого равенства, причем два из них в косвенном виде:
10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin ∠ВАС.
Если вспомнить, что сумма углов треугольника равна 180°, то легко найти оставшийся угол:
Формулировка расширенной теоремы синусов: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны друг другу и удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг него.
Пример 3. Найти площадь треугольника, если диаметр описанной окружности D равен 20 см. Угол АСВ = 30°, а угол САВ = 60°.
Для решения воспользуемся расширенной формулировкой теоремы синусов:
АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС = 2R.
В этой формулировке нам известны два из семи компонентов и еще лва мы можем определить из базовых знаний по геометрии:
Подставим в исходное выражение известные величины и получим соотношение:
АВ : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90° = 20.
Основным отличием от предыдущей задачи является то, что нам неизвестна сторона АВ, зато известен удвоенный радиус описанной окружности. Это позволяет составить выражения для нахождения всех сторон треугольника:
Выберем из таблицы значения синусов углов и вычитаем стороны треугольника:
ВС = 20 ∙ sin 60° = 20 ∙ √3/2 = 10√3 см,
АС = 20 ∙ sin 90° = 20 ∙ 1 = 20 см,
АВ = 20 ∙ sin 30° = 20 ∙ 1/2 = 10 см.
Синусов теорема с примерами
Внимательный читатель заметил, что мы «зашифровали» в этой задаче треугольник из предыдущего примера. Теперь осталось найти его площадь. Для этого берем стандартную формулу площади произвольного треугольника, которая равна половине произведения сторон на синус угла между ними
S = ½ ∙ a ∙ b ∙ sin α
Поскольку нам известны все стороны и все углы, то мы можем выбрать любые из них. Возьмем стороны АС и АВ, а также угол САВ между ними:
S = ½ ∙ АС ∙АВ ∙ sin 60° = ½ ∙ 20 ∙10 ∙ √3/2 = 50√3 см 2 .
Примечание:внимательный читатель заметил, что наш треугольник — прямоугольный, так как один из его углов равен90°. В таком случае можно обойтись без знания синуса угла, вычислив площадь треугольника как половину площади прямоугольника, длина и ширина которого равна катетам треугольника.
💥 Видео
Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)Скачать
Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Задача 6 №27919 ЕГЭ по математике. Урок 136Скачать
ОГЭ по математике. Задание 24. Теорема синусов. Радиус описанной окружности.Скачать
I. Если треугольник ABC — остроугольный.
